Estructura algebrica

En matematicas, e pus particularament en algèbra, una estructura algebrica pura es constituida d’un ensemble (dich sosjacent) provesit d'una lèi de composicion (intèrna o extèrna) o de mai d'una, regida(s) per d'axiòmas. Una estructura algebrica mixta i aponde un òrdre o una topologia amb d'axiòmas de compatibilitat.

Estructuras algebricas puras

Estructuras de basa

Compòrtan que de lèis de composicion intèrna. Lei pus importantas son leis estructuras de grop, d’anèu e de còrs.

Estructuras amb una lèi intèrna unica

• magma : ensemble provesit d'una soleta lèi de composicion intèrna.

• monoïde : magma associatiu amb un element neutre.

• grop : monoïde onte tot element es simetrizable.

• grop commutatiu : grop que sa lèi es commutativa

Estructuras amb doas lèis intèrnas

• anèu : ensemble provesit d’una estructura de grop additiu (d'element neutre notat "0") e d’una estructura de monoïde multiplicatiu (d'element neutre notat "1"), onte la multiplicacion es distributiva a respècte de l’addicion.

• anèu intègre: anèu e sensa divisor de zèro, valent a dire que tot produch d'elements non nuls de l'anèu es non nul.

• anèu commutatiu : anèu que sa multiplicacion es commutativa.

• còrs : anèu onte tot element non nul es invertible (a respècte de la multiplicacion). Un còrs pòt èsser commutatiu (valent a dire que sa multiplicacion es commutativa) o non.

Estructuras amb aumens una lèi extèrna

Estructuras amb una lèi intèrna e una lèi extèrna

• modul : grop additiu provesit d'una lèi de composicion extèrna : se definís lo produch d'un element de l'anèu e d'un element dau modul, somés en d'axiòmas de compatibilitat amb l'estructura de grop.

• espaci vectoriau (sus un còrs commutatiu) : modul sus un còrs commutatiu.

Algèbras : estructuras amb doas lèis intèrnas e una lèi extèrna

• algèbra sus un anèu : ensemble provesit au còp d'una estructura de modul sus un anèu e d'una estructura d'anèu (compatibla amb la precedenta ; la multiplicacion intèrna i es associativa)

• algèbra sus un còrs commutatiu, sovent sonada simplament algèbra.

• algèbra commutativa : algèbra que sa multiplicacion intèrna es commutativa.

Estructuras algebricas ordenadas

• reticul : ensemble provesit d'una relacion d'òrdre parciau, onte tot pareu d'elements a una boina superiora e una boina inferiora. Se pòt definir d'un biais equivalent coma un ensemble provesit de doas lèis de composicion intèrna notadas "$\vee$" e "$\wedge$" satisfasent cèrts axiòmas (commutativitat, associativitat, idempoténcia, lèi d’absorpcion) ; per tot pareu (x, y) d'elements, $x\vee y$ e $x\wedge y$ s'interprètan respectivament coma la boina superiora e la boina inferiora dau pareu.

• algèbra de Boole : reticul boinat, distributiu e complementat.

Estructuras algebricas topologicas

• Una estructura algebrica e una estructura topologica pòdon coexistir :

• grop topologic : grop provesit d'una topologia tala que leis operacions (lèi intèrna e passatge au simetric) sián continuas.
• espaci vectoriau topologic: un autre cas important.
• espaci vectoriau normat : espaci vectoriau provesit d'una nòrma, indicant la « longor » d’un vector. Un espaci normat es un cas particular d'espaci metric, car se pòt definir una distància a partir de la nòrma.
• espaci de Banach : espaci vectoriau normat complet.
• espaci prehilbertian, o prehilbertian : espaci vectoriau reau o complèxe provesit d'un produch escalar. Se i pòt definir una nòrma, dicha euclidiana dins lo cas d'un prehilbertian reau, e hermitiana dins lo cas d'un prehilbertian complèxe. Quauquei cas importants :

• espaci euclidian : prehilbertian reau de dimension finida. Provesit de son estructura afina, es lo quadre modèrne de la geometria classica d’Euclides.
• espaci hermitian : prehilbertian complèxe de dimension finida.
• espaci de Hilbert : prehilbertian complet (de dimension finida o infinida). Es un cas particular d'espaci de Banach. L'espaci de Hilbert es essenciau en fisica qüantica.

La lista precedenta es pas exaustiva...