Lèi de composicion intèrna

En matematicas, e pus particularament en algèbra, una lèi de composicion intèrna (var. lei de composicion intèrna) dins un ensemble E es una operacion qu'en tot pareu d'elements de E fa correspòndre un tresen element de E, qu'es lo resultat de l'operacion.

Per exemple, dins l'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus, l'addicion e la multiplicacion son doas lèis de composicion intèrna :

• l'addicion associa en tot pareu (n, p) d'entiers naturaus un tresen entier naturau notat n + p, la soma de n e p
• la multiplicacion associa en tot pareu (n, p) d'entiers naturaus un tresen entier naturau notat n $\cdot$ p, lo produch de n e p

Aquelei doas operacions an de proprietats remarcablas (que son pas necessariament verificadas per d'autreis operacions) :

• son associativas, valent a dire que per tot triplet (n, p, q) d'entiers naturaus :
  • (n + p) + q = n + (p + q) (per exemple : (9 + 3) + 4 = 9 + (3 + 4), estent que 12 + 4 = 9 + 7)
  • (n $\cdot$ p) $\cdot$ q = n $\cdot$ (p $\cdot$ q) (per exemple : (9 $\cdot$ 3) $\cdot$ 4 = 9 $\cdot$ (3 $\cdot$ 4), estent que 27 $\cdot$ 4 = 9 $\cdot$ 12)
• an caduna un element neutre :
  • per l'addicion, es "0" : la soma d'un entier naturau n amb "0" es aquest entier : n + 0 = n, e 0 + n = n
  • per la multiplicacion, es "1" : lo produch d'un entier naturau n amb "1" es aquest entier : n $\cdot$ 1 = n, e 1 $\cdot$ n = n
• son commutativas : quand se calcula la soma o lo produch de dos entiers naturaus, lo resultat depend pas de l'òrdre, valent a dire que per tot pareu (n, p) d'entiers naturaus, n + p = p + n e n $\cdot$ p = p $\cdot$ n

Remarca : la sostraccion e la division son pas de lèis de composicion intèrna dins $\mathbb {N}$ :

• se pòt pas definir la diferéncia 2 − 3 dins $\mathbb {N}$
• se pòt pas definir lo quocient 2 / 3 dins $\mathbb {N}$

Coma se passa sovent en matematicas, çò qu'es inicialament impossible se pòt faire dins un quadre pus generau, en apondent d'elements "novèus" en d'ensembles "insufisents".

Ansin, se pòt definir la sostraccion coma lèi de composicion intèrna dins l'ensemble $\mathbb {Z}$ deis entiers (qu'es format en "apondent" a $\mathbb {N}$ leis entiers negatius). Parierament, se pòt definir la division coma lèi de composicion intèrna dins l'ensemble $\mathbb {Q} ^{\ast }$ dei racionaus diferents de 0.

Definicion

Estent un ensemble (non vuege) E, una lèi de composicion intèrna dins E (o operacion intèrna dins E) es una aplicacion

$\psi :E^{2}=E\times E\to E,\,(x,\,y)\mapsto \psi (x,\,y)$

que son domeni es lo carrat cartesian de E e son codomeni es E. Se ditz que x, y son leis operands e que $\psi (x,\,y)$ es lo resultat.

Remarca : dins aquest article, se poirà abreujar lèi de composicion intèrna en lèi.

Notacions

Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada per designar lo resultat de l'operacion : un simbòl d'operacion es plaçat entre leis operands. Dins la teoria generala expausada aicí, se chausirà lo simbòl " $*$ " e s'escriurà $x*y$ en plaça de $\psi (x,\,y)$ .

Dins lei cas "concrets", s'emplega mai que mai :

• lo simbòl " + " (se parla de notacion additiva ; la lèi es sonada addicion); lo resultat de l'operacion se nòta x + y
• un dei simbòls " $\times$ ", " $\cdot$ " (se parla de notacion multiplicativa ; la lèi es sonada multiplicacion) ; lo resultat de l'operacion se nòta $x\times y$ o $x\cdot y$ , o encara x y per simpla escritura juxtapausada deis operands
• lei simbòls $\bigcup \;,\;\bigcap \;,\;\setminus \;,\,\Delta \;$ dins lo contèxte d'operacions sus de partidas d'un ensemble

Exemples

Vaquí quauqueis exemples de lèis dins d'ensembles divèrs, en mai dei precedents (addicion e multiplicacion dins $\mathbb {N}$ ) :

• l'exponenciacion dins $\mathbb {N}$ : es l'aplicacion $\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N}$ qu'en tot pareu (n,p) d'entiers naturaus fa correspòndre l'entier naturau $n^{p}$ .
• la composicion deis aplicacions de A dins A. Sián A un ensemble e $E={\mathcal {F}}(A,\,A)=A^{A}$ l'ensemble deis aplicacions $A\to A$. Se f, g son d'elements de E, la compausada $f\circ g:A\to A$ es tanben un element de E.

L'aplicacion $E^{2}\to E,\,(f,\,g)\mapsto f\circ g$ es una lèi de composicion intèrna dins E.

Per exemple, se $A=\mathbb {R}$ e se se definís : $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}$ e $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x+1$ , alora per tot reau x :

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1$ (e se remarca qu'en aquest cas, $f\circ g\neq g\circ f$)

Partida establa e lèi inducha

Estent una lèi " $\ *$ " dins un ensemble E, se ditz qu'una partida non vueja A de E es establa per la lèi se per tot pareu (x, y) d'elements de A, $\ x*y$ es un element de A. Dins aquest cas, l'aplicacion :

$\ *':A^{2}\to A,\,(x,\,y)\mapsto x*y$

es una lèi de composicion intèrna dins A, qu'es dicha lèi inducha dins A (es generalament notada, abusivament : " $\ *$ ").

Exemples, còntraexemple

• Sián dins l'ensemble $\mathbb {N}$ , provesit de l'addicion, l'ensemble A (respectivament B) deis entiers naturaus pars (respectivament impars). Lo premier es estable : la soma de dos entiers naturaus pars es para. Lo segond o es pas.

• Siá E l'ensemble deis foncions de $\mathbb {R}$ dins $\mathbb {R}$ , provesit de la composicion deis aplicacions. Se ditz qu'un element f de E es una foncion afina s'existisson dos reaus a, b taus que per tot reau x, f(x) = a x + b. La partida A de E constituida dei foncions afinas es establa : se f, g son d'elements de A, existisson 4 reaus a, b, c, d taus que, per tot reau x, f(x) = a x + b e g(x) = c x + d :

alora, per tot reau x, (f $\circ$ g)(x) = f(g(x)) = a g(x) + b = a (c x + d) + b = a c x + a d + b = u x + v (onte u = a c, e v = a d + b),

donc la compausada f $\circ$ g es afina : es tanben un element de A, çò que ne pròva l'estabilitat.

L'estructura de magma

Lo pareu $(E,\;*)$ d'un ensemble E e d'una lèi de composicion intèrna dins E es una estructura algebrica sonada magma. Per exemple :

• lei pareus $(\mathbb {N} ,\,+)$ , $(\mathbb {N} ,\,\times )$ son de magmas, dichs respectivament additiu, multiplicatiu
• lo pareu $(A^{A},\circ )$ es un magma

L'estructura generala de magma es "paura". Leis exemples interessants son aquelei onte la lèi es dotada de proprietats particularas coma l'associativitat, e / o d'autrei qu'anam definir.

Associativitat

Se ditz que la lèi es associativa se, per tot triplet (x, y, z) d'elements de E

$\ (x*y)*z=x*(y*z)$

Lei parentèsis son prioritàrias : se comença lo calcul per leis expressions que contènon ; ansin, per definicion :

$\ (x*y)*z=u*z$ , onte $\ u=x*y\;$ , e

$\ x*(y*z)=x*v$ , onte $\ v=y*z\;$

En cas d'associativitat, se pòt escriure sens ambigüitat : $\ x*y*z$ en ometent lei parentèsis (mai en s'avisant de l'òrdre deis operands). Un magma $(E,\,*)$ que sa lèi es associativa es sonat magma associatiu.

Exemples

• lei dos magmas $(\mathbb {N} ,\,+)$ e $(\mathbb {N} ,\,\times )$ son associatius

• lo magma $(A^{A},\circ )$ es associatiu : per tot triplet (f, g, h) d'aplicacions $A\to A$ ,

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$

• la sostraccion, considerada coma lèi dins $\mathbb {Z}$ , es pas associativa : per totei lei triplets (n, p, q) d'entiers taus que q ≠ 0,

$(n-p)-q\neq n-(p-q)$ .

L'escritura $\ n-p-q$ a un sens perque, per convencion, leis operacions i son efectuadas en partent de senèstra

• l'exponenciacion, considerada coma lèi dins $\mathbb {N}$ , es pas associativa : existisson de triplets (n, p, q) d'entiers naturaus taus que

$(n^{p})^{q}\neq n^{(p^{q})}$ .

Per exemple, $(3^{3})^{3}=3^{9}\;$ e $3^{(3^{3})}=3^{27}$ son diferents, e una escritura sensa parentèsis coma $3^{3^{3}}$ a pas de significacion precisa (a mens, coma supra, d'una convencion sus l'òrdre deis operacions).

Commutativitat

Se ditz que la lèi dins E es commutativa se per tot pareu (x, y) d'elements de E

$\ x*y=y*x$

Un magma $(E,\,*)$ que sa lèi es commutativa es sonat magma commutatiu.

La non commutativitat de la lèi significa qu'existís aumens un pareu (a, b) d'elements de E taus que

$a*b\neq b*a$

Exemples

• lei dos magmas $(\mathbb {N} ,\,+)$ e $(\mathbb {N} ,\,\times )$ son commutatius

• lo magma $(A^{A},\circ )$ es pas commutatiu, levat se A es un singleton (valent a dire qu'a ren qu'un element).

D'efècte, la commutativitat es clara quand A es un singleton, qu'en aquest cas, $A^{A}$ n'es un eu tanben ; se supausa desenant que se pòdon trobar dins A dos elements diferents a, b e se definís lei doas aplicacions constantas seguentas, qu'apartènon a $A^{A}$ :

$\gamma _{a}:A\to A,\,x\mapsto \gamma _{a}(x)=a$

$\gamma _{b}:A\to A,\,x\mapsto \gamma _{b}(x)=b$

Alora, per tot element x de E :

$(\gamma _{a}\circ \gamma _{b})(x)=\gamma _{a}(\gamma _{b}(x))=\gamma _{a}(b)=a$

$(\gamma _{b}\circ \gamma _{a})(x)=\gamma _{b}(\gamma _{a}(x))=\gamma _{b}(a)=b$

e coma $a\neq b$ : $\gamma _{a}\circ \gamma _{b}\neq \gamma _{b}\circ \gamma _{a}$ , çò que pròva la non commutativitat de la lèi quand A es pas un singleton

• la sostraccion, considerada coma lèi dins $\mathbb {Z}$ , es pas commutativa : per totei lei pareus (n, p) d'entiers taus que n ≠ p,

$n-p\neq p-n$

• l'exponenciacion, considerada coma lèi dins $\mathbb {N}$, es pas commutativa : existisson de pareus (n, p) d'entiers naturaus taus que $n^{p}\neq p^{n}$ ; per exemple, $2^{3}\neq 3^{2}$ .

Remarca : la notacion additiva e la notacion multiplicativa dei lèis apareisson dins de contèxtes fòrça divèrs. Se convèn que la notacion additiva es jamai utilizada per de lèis non commutativas.

Element neutre

Siá $(E,\,*)$ un magma. Se ditz qu'un element e de E es neutre se per tot element x de E :

$\ e*x=x\,$ , e $\ x*e=x\,$

Un magma $(E,\,*)$ qu'a un element neutre e (que son unicitat serà provada infra) es sonat magma unitari.

Remarca : quand existís,

• l'element neutre d'una lèi notada additivament se nòta "0" o "0_E (element nul, o zèro de E) ;

per tot element x de E, $\ 0+x=x\,$ e $\ x+0=x\,$

• l'element neutre d'una lèi notada multiplicativament se nòta "1" o "1_E (element unitat de E) ;

per tot element x de E, $\ 1\cdot x=x\,$ e $\ x\cdot 1=x\,$

Exemples

• s'es ja vist que
  • dins lo magma $(\mathbb {N} ,\,+)$ , 0 es element neutre
  • dins lo magma $(\mathbb {N} ,\times )$ , 1 es element neutre
• dins lo magma $(A^{A},\circ )$ , l'aplicacion identica $id_{A}:A\to A,\,x\mapsto x$ es element neutre. D'efècte, per tot element f de $A^{A}\;$ :

$id_{A}\circ f=f$ , e $f\circ id_{A}=f$

• la sostraccion, considerada coma lèi dins $\mathbb {Z}$ , a pas d'element neutre. Un element neutre eventuau e verificariá l'identitat seguenta :

per tot entier p , $\ e-p=p$ ; autrament dich : per tot entier p , $2\,p=e$ , çò qu'es absurde.

• l'exponenciacion, considerada coma lèi dins $\mathbb {N}$ , a pas d'element neutre. Un element neutre eventuau e verificariá l'identitat seguenta :

per tot entier naturau p , $\ e^{p}=p$ .

Aiçò implicariá $\ e^{2}=2$ : es absurde puei que e deu èsser un entier naturau.

Unicitat de l'element neutre

Quand existís un element neutre, es unic.

D'efècte, se e' e e" son d'elements neutres, alora :

$\ \forall x\in E,\,e'*x=x\,$ e $\forall \ x\in E,\ x*e'=x\,$

$\ \forall y\in E,\,e''*y=y\,$ e $\forall \ y\in E,\ y*e''=y\,$

En particular :

• en chausissent x = e" , s'obtèn : $\ e'*e''=e''$
• en chausissent y = e' , s'obtèn : $\ e'*e''=e'$

Se'n dedutz l'egalitat e' = e" , valent a dire l'unicitat de l'element neutre.

Elements regulars

Siá $(E,\,*)$ un magma.

• un element a de E es dich regular a senèstra (o simplificable a senèstra) se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

$(a*x=a*y)\;$ implica (x = y)

• un element a de E es dich regular a drecha (o simplificable a drecha) se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

$(x*a=y*a)\;$ implica (x = y)

• un element a es dich regular o simplificable s'es regular a senèstra e a drecha

Exemples

• dins lo magma $(\mathbb {N} ,\,+)$ , tot element es regular : se a, x, y son tres entiers naturaus, (a + x = a + y) implica (x = y).
• dins lo magma $(\mathbb {N} ,\,\times )$ , tot element non nul es regular : se a, x, y son tres entiers naturaus, e se $a\neq 0$ , (a x = a y) implica (x = y) ; mai l'element nul es pas regular : per exemple, 0 $\cdot$ 2 = 0 $\cdot$ 3 , e 2 ≠ 3.
• dins lo magma $(A^{A},\circ )$ :
  • tota injeccion $f:A\to A$ es regulara a senèstra
  • tota subrejeccion $f:A\to A$ es regulara a drecha
  • per ansin, tota bijeccion $f:A\to A$ es regulara

D'efecte, sián f, g, h tres aplicacions de A dins A.

1. Supausem f injectiva e $f\circ g=f\circ h$ . Per tot element x de A, $\ f(g(x))=f(h(x))$ ; coma f es injectiva, se'n dedutz, per tot element x de A, $\ g(x)=h(x)$ , donc g = h. Aiçò pròva la regularitat de f a senèstra.
2. Supausem f subrejectiva e $g\circ f=h\circ f$ . Coma f es subrejectiva, per tot element x de A, existís (aumens) un element w de A tau que $\ f(w)=x$ ; alora $\ g(x)=g(f(w))=(g\circ f)(w)=(h\circ f)(w)=h(f(w))=h(x)$ , donc g = h. Aiçò pròva la regularitat de f a drecha.

Vejatz tanben

• monoïde