Monoïde

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar

En matematicas, e pus particularament en algèbra, un monoïde es una estructura algebrica que consistís en un ensemble provesit d'una lèi de composicion intèrna associativa e d'un element neutre. Autrament dich, es un magma associatiu e unitari.

Definicion[modificar | modificar la font]

Pus explicitament, un monoïde es un pareu , onte E es un ensemble, e " " es una lèi (de composicion intèrna) dins E, associativa e admetent un element neutre :

  • (lèi de composicion intèrna)
  • (associativitat)
  • (existéncia d'un element neutre e ; se saup qu'es necessariament unic)

Lo monoïde es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins E es commutativa, valent a dire se :

  • (commutativitat)

Notacions[modificar | modificar la font]

La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

Monoïde multiplicatiu[modificar | modificar la font]

Quand la lèi dins E se nòta multiplicativament, lo monoïde es dich multiplicatiu :

s'escriu : x · y o x y en plaça de :

L'element neutre se nòta "1E" o simplament "1" (element unitat de E).

Monoïde additiu[modificar | modificar la font]

Quand la lèi dins E se nòta additivament, lo monoïde es dich additiu :

s'escriu : x + y en plaça de :

L'element neutre se nòta "0E" o simplament "0" (element nul, o zèro de E).

Se convèn qu'un monoïde additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un monoïde non commutatiu).

Exemples[modificar | modificar la font]

  • Lo magma es un monoïde commutatiu que son element neutre es 0.
  • Lo magma es un monoïde commutatiu que son element neutre es 1.
  • Siá A un ensemble finit (e qu'a aumens dos elements) : serà convencionalament sonat alfabet e seis elements letras de l'alfabet A. Per tot entier naturau non nul n, se sòna mot de longor n subre l'alfabet A un n-uplet d'elements de A, element de An (poténcia cartesiana) : es constituit de n letras ; de mai, se definís lo mot vuege, notat "1", que sa longor es 0, e l'ensemble A0 = {1} . Ansin, l'ensemble :

es l'ensemble de totei lei mots subre l'alfabet A. La juxtaposicion (o concatenacion) es una lèi dins  : estent dos mots x, y, se s'escriu x seguit de y, se definís un tresen mot que se pòt notar x y. Ansin, provesit d'aquela lèi manifestament associativa, es un monoïde, non commutatiu, qu'a 1 (lo mot vuege) per element neutre : se ditz qu'es lo monoïde libre engendrat per l'alfabet A.
  • Siá l'ensemble dei partidas d'un ensemble .
    • Lo magma es un monoïde commutatiu qu'a per element neutre l'ensemble vuege .
    • Lo magma es un monoïde commutatiu qu'a per element neutre l'ensemble .
  • Sián A un ensemble non vuege, e l'ensemble deis aplicacions . La composicion deis aplicacions es una lèi dins . Lo magma es un monoïde qu'a per element neutre l'aplicacion identica de A. Es pas commutatiu, levat lo cas que A a ren qu'un element (valent a dire qu'es un singleton).

Sosmonoïde[modificar | modificar la font]

Sián un monoïde d'element neutre e, e A una partida de E tala que :

  1. , valent a dire que A es establa per la lèi de E

Alora, la lèi " " inducha sus A es associativa, e lo pareu es un monoïde, qu'es sonat sosmonoïde de .

Exemples[modificar | modificar la font]

  • L'ensemble , provesit de la lèi inducha, es un sosmonoïde de .
  • L'ensemble A deis entiers naturaus pars, provesit de l'addicion, es un sosmonoïde dau monoïde .
  • L'ensemble dei foncions afinas es un sosmonoïde dau monoïde , onte es l'ensemble dei foncions  : se saup que es estable per composicion, e de mai l'element neutre, çò es la foncion identica de , es una foncion afina.

Elements simetrizables d'un monoïde[modificar | modificar la font]

Un element x de E es dich simetrizable s'existís un element x' de E tau que :

Dins aqueu cas, l'element x' (que son unicitat serà provada infra) es sonat element simetric de x, o simetric de x.

Notacions

  • dins lo cas d'una lèi notada multiplicativament, se ditz generalament invertible per simetrizable ; lo simetric d'un element invertible x es sonat invèrs de x e es generalament notat  ; per tot element invertible x de E :
x x' = , e x' x =
  • dins lo cas d'una lèi notada additivament, lo simetric d'un element simetrizable x es sonat opausat de x e x' es generalament notat −x ;
per tot element simetrizable x de E :
x + x' = , e x' + x =

Exemples[modificar | modificar la font]

  • dins lo monoïde , lo solet element simetrizable es 0, qu'es son pròpri opausat
  • dins lo monoïde , lo solet element invertible es 1, qu'es son pròpri invèrs
  • dins lo monoïde , leis elements simetrizables son leis aplicacions bijectivas  ; lo simetric d'una bijeccion f es la bijeccion recipròca .

Unicitat de l'element simetric[modificar | modificar la font]

Per tot element simetrizable d'un monoïde, l'element simetric es unic.


D'efècte, sián x un element simetrizable de E, e x' , x" de simetrics de x :

Se considèra alora l'element de E ; per associativitat :

  • coma ,
  • coma ,
  • en conclusion, y = x' e y = x" . Se'n dedutz l'egalitat x' = x ", valent a dire l'unicitat de l'element simetric de x.

Ensemble deis elements simetrizables d'un monoïde[modificar | modificar la font]

Siá G l'ensemble deis elements simetrizables d'un monoïde .

  • l'element neutre e apartèn a G e coïncidís amb son simetric : e' = e ; ansin G es non vuege
  • se x, y apartènon a G, alora apartèn a G e son simetric es :
  • se x apartèn a G, x' apartèn tanben a G e cadun d'elei es lo simetric de l'autre.

Aquelei proprietats fan de G, provesit de la lèi inducha, un grop qu'es un sosmonoïde de .

Iteracion de la lèi de composicion intèrna d'un monoïde[modificar | modificar la font]

Siá un monoïde d'element neutre e. Còmpte tengut de l'associativitat de la lèi de E, se pòt definir sens ambigüitat un element de E notat , onte , , ... , son d'elements de E, quin que siá lo nombre n :

  • se n = 1 o n = 2, la definicion pausa ges de problèma
  • se generaliza per recurréncia subre n :
estent n + 1 elements , ... , de E, se definís ansin l'element  :

L'associativitat permete de plaçar lei parentèsis coma se vòu. Per exemple, se n = 4,

per definicion :
mai tanben : , etc.

Iterats d'un element per la lèi dau monoïde[modificar | modificar la font]

Siá x un element de E. Per tot entier naturau n diferent de 0, se definís :

, onte

Autrament dich :

(onte lo nombre d'operands, toteis egaus, es n )

Se completa la definicion en pausant :

(l'element neutre)

Per exemple :

, , .

L'aplicacion es un exemple de lèi de composicion extèrna dins E.


Per tot pareu (n, p ) d'entiers naturaus :

Cas deis elements simetrizables[modificar | modificar la font]

Coma supra, se nòta G l'ensemble deis elements simetrizables dau monoïde, e x' lo simetric d'un element x de G.

Se x apartèn a G, alora per tot entier naturau m :

apartèn tanben a G e :

Se definís alora en pausant :

En particular, .

L'aplicacion es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G.


Se x es simetrizable, alora per tot pareu (n, p ) d'entiers :

Per exemple :

Notacions[modificar | modificar la font]

Monoïde multiplicatiu[modificar | modificar la font]

Dins lo cas d'un monoïde multiplicatiu :

  • l'element es sonat produch de e se nòta :
o ben
  • per tot pareu (x, n), ont x es dins E e n es un entier naturau, s'escriu en luòga de  ; se ditz qu'es la poténcia d'exponent n de x.
    • (l'element neutre),  ; = es lo carrat de x ...
    • = per tot pareu (n, p ) d'entiers naturaus
  • per tot pareu (x, n), ont x es un element invertible de E e n es un entier, s'escriu tanben en luòga de
    • per exemple, l'invèrs de x es , çò que justifica aquesta notacion usuala de l'invèrs
    • se m es un entier naturau :
    • = per tot pareu (n, p ) d'entiers

Monoïde additiu[modificar | modificar la font]

Dins lo cas d'un monoïde additiu :

  • l'element es sonat soma de e se nòta :
o ben
  • per tot pareu (x, n), ont x es dins E e n es un entier naturau, s'escriu n x en luòga de  ; se ditz qu'es lo multiple de coefficient n de x.
    • 0 x = (l'element neutre), 1 x = x ; 2 x = x + x es lo doble de x ...
    • n x + p x = (n + p) x per tot pareu (n, p ) d'entiers naturaus
  • per tot pareu (x, n), ont x es un element simetrizable de E e n es un entier, s'escriu tanben n x en luòga de
    • per exemple, l'opausat de x es x' = (−1) x, notat : −x
    • se m es un entier naturau : (−m) x = m (−x) = − (m x)
    • n x + p x = (n + p) x per tot pareu (n, p ) d'entiers

Morfisme de monoïdes[modificar | modificar la font]

Un morfisme de monoïdes es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

Definicions[modificar | modificar la font]

  • Sián dos monoïdes (d'element neutre e) e (d'element neutre f) . Un morfisme de vèrs es per definicion una aplicacion tala que
  1. (leis elements neutres se correspòndon per )
  • Lo nuclèu dau morfisme , notat , es lo sosensemble de E ansin definit :
  • Un isomorfisme de monoïdes es un morfisme bijectiu.
  • Se ditz que dos monoïdes son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos monoïdes isomòrfs son indestriables.

Proprietats[modificar | modificar la font]

  • Siá un morfisme de vèrs . Alora :
    • Per tot pareu (x, n) onte x es dins E e n es un entier naturau :
    • Se x es un element simetrizable de E, es un element simetrizable de F, e
    • La relacion () supra se generaliza au cas que x es un element simetrizable de E e n es un entier.
  • L'aplicacion identica de E es un morfisme de vèrs .
  • La compausada de dos morfismes de monoïdes es un morfisme de monoïdes :
    estent tres monoïdes , , e dos morfismes de vèrs , de vèrs , l'aplicacion compausada es un morfisme de vèrs .
    En particular, la compausada de dos isomorfismes de monoïdes es un isomorfisme de monoïdes.
  • L'imatge d'un morfisme de monoïdes es un sosmonoïde. Pus generalament, l'imatge d'un sosmonoïde per un morfisme de monoïdes es un sosmonoïde.
  • L'imatge invèrs d'un sosmonoïde per un morfisme de monoïdes es un sosmonoïde. En particular, lo nuclèu es un sosmonoïde.
  • La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de vèrs es un isomorfisme de vèrs .

Exemples e còntraexemple[modificar | modificar la font]

  • L'aplicacion es un isomorfisme dau monoïde (N, +) vèrs lo monoïde (A, +) deis entiers naturaus pars.
  • Siá (cf. supra). Lei monoïdes , son isomòrfs. D'efècte, per tot sosensemble A de , notem lo complementari de A (dins ) : . L'aplicacion es un isomorfisme de monoïdes :
    • Es bijectiva.
    • Per tot pareu (A, B) d'elements de , (formula de De Morgan), çò es : .
    • , autrament dich : (lei dos elements neutres se correspòndon).
  • Lei dos monoïdes e (onte ) son pas isomòrfs. Se demòstra per reduccion a l'absurde, en supausant l'existéncia d'un isomorfisme  :
    • Es una bijeccion .
    • Per tot pareu (n, p) d'entiers naturaus, .
    • (leis elements neutres se correspòndon)
Pausem  ; e (per injectivitat de ), , donc .
Per tot entier naturau n, (demostracion dirècta per recurréncia subre n, o utilizacion de proprietats enonciadas supra). Coma es bijectiva, per tot element m de existís un entier naturau (unic) n tau que
.
En particular (en chausissent l'element m = g +1), existís un entier naturau n tau que  ;
necessariament, n ≠ 0, donc g es un divisor de , a fortiori de  ; es absurde, car g es estrictament superior a 1.

Monoïde quocient per una congruéncia[modificar | modificar la font]

Una congruéncia dins un monoïde (d'element neutre e) es una relacion d'equivaléncia "" compatibla amb l'estructura algebrica.

Aiçò significa que :

  1. La relacion binària "" es una relacion d'equivaléncia dins E ; la classa (d'equivaléncia) de tot element x de E se notarà : [x].
  2. Per tot triplet (x, x' , y) d'elements de E : implica e

Se'n dedutz que per tota lista (x, x' , y, y' ) d'elements de E :

e implican :  ;

Autrament dich, la classa de l'element depende unicament de la classa de x e de la classa de y : ansin, se pòt definir sens ambigüitat una lèi de composicion intèrna dins l'ensemble dei classas, çò es l'ensemble quocient , en pausant :

Es de bòn verificar que lo magma es un monoïde qu'a per element neutre la classa [e] de l'element neutre de E. Se sòna monoïde quocient de per la congruéncia "" .

L'aplicacion canonica : es un morfisme subrejectiu de monoïdes ; son nuclèu es la classa de l'element neutre de E, considerada aicí coma un sosensemble de E (e en fach n'es un sosmonoïde).

Vejatz tanben[modificar | modificar la font]