Ensemble complementari

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar
Se lo rectangle representa l'ensemble referenciau E, la partida blava es lo complementari de la blanca.

En teoria deis ensembles, estent un ensemble E dich ensemble referenciau, lo complementari d'una partida A de E es la partida de E definida coma l'ensemble de totei leis elements de E qu'apartènon pas a A. Es l'ensemble :

\ E \setminus A = \{x \mid (x \in E) \wedge (x \notin A)\}:

Es tanben sonat : complementari de A a respècte de E.

Notacions[modificar | modificar la font]

Lo complementari de A es sovent notat :

\overline A o \ A^c o encara \complement A.

Per defugir tota ambigüitat, en cas de necessitat, s'explicita l'ensemble referenciau E, e lo complementari de A a respècte de E se nòta:

\complement_E A.

Exemples[modificar | modificar la font]

  • L'ensemble A deis entiers naturaus pars es una partida de l'ensemble \ E = \mathbb{N} deis entiers naturaus. Lo complementari de A a respècte de \ \mathbb{N} es l'ensemble deis entiers naturaus impars.

Proprietats essencialas[modificar | modificar la font]

Lo complementari de A\cup B es en gris.

L'ensemble referenciau se nòta E ; A e B son de partidas de E.

  • \overline E = \varnothing
  • \overline{\varnothing} = E
  • Un element de E pòt pas èsser au còp dins A e dins son complementari :
A\cap \overline A = \varnothing (autrament dich : A\text{ e }\overline{A} son desjonchs)
  • Tot element de E es siá dins A siá dins lo complementari de A :
A\cup \overline A = E
  • Se A es diferent de l'ensemble vuege e de E, alora l'ensemble \ \{A,\, \overline A\,\} es una particion de E.
  • Lo complementari dau complementari d'una partida A es A :
\overline{\overline{A}} = A
  • Diferéncia ensemblista :
A \setminus B = A \cap \overline{B}
  • Lo complementari de l'union de doas partidas de A es l'interseccion de sei complementaris :
\overline{A\cup B} = \overline A \cap \overline B.
  • Lo complementari de l'interseccion de doas partidas de A es l'union de sei complementaris :
\overline{A\cap B} = \overline A \cup \overline B.
  • Pus generalament, estent una familha (A_i)_{\,i\, \in\, I} de partidas de E :
\overline{\bigcup_{\,i\, \in\, I} A_i} = \bigcap_{\,i\, \in\, I} \overline{A_i} \text{ e } \overline{\bigcap_{\,i\, \in\, I} A_i} = \bigcup_{\,i\, \in\, I} \overline{A_i}

Vejatz tanben[modificar | modificar la font]