Particion (matematicas)
En matematicas, una particion d'un ensemble E es un ensemble P de sosensembles non vueges de E, desjonchs a cha dos, que forman un recurbiment de E. Autrament dich, P es una particion de E se e solament se lei sosensembles que constituisson P son non vueges, e per tot element x de E, existís un solet d'aquelei sosensembles qu'a x per element.
Definicion
[modificar | Modificar lo còdi]Siá un ensemble E. Un ensemble P de sosensembles de E es una particion de E se :
- ges d'element de P es vuege ;
- l'union deis elements de P es egala à E ;
- lei sosensembles de E que constituisson P (valent a dire : leis elements de P) son desjonchs a cha dos.
Exemples
[modificar | Modificar lo còdi]L'ensemble {1, 2, 3} a lei 5 particions seguentas :
- { {1}, {2}, {3} },
- { {1, 2}, {3} },
- { {1, 3}, {2} },
- { {1}, {2, 3} } e
- { {1, 2, 3} }.
Se pòt remarcar que
- { {1, 2}, {2, 3} } es pas una particion de {1, 2, 3} perque l'element 2 apartèn au còp a {1, 2} e a {2, 3} que son pas desjonchs
- { {1}, {2} } es pas una particion de {1, 2, 3} perque 3 es element ni de {1} ni de {2} ;
Partitions e relacions d'equivaléncia
[modificar | Modificar lo còdi]- S'una relacion d'equivaléncia es donada dins l'ensemble E, alora l'ensemble de totei lei classas d'equivaléncia es una particion de E.
- Reciprocament, estent una particion P de E, alora se pòt definir ansin una relacion binària dins E notada ~ :
- x ~ y se e solament s'existís un element de la particion P contenent au còp x e y
- Se verifica aisadament qu'es una relacion d'equivaléncia, e que P es l'ensemble de sei classas d'equivaléncia.
Ansin, lei doas nocions d'ensemble quocient e de particion son fondamentalament identicas.
Nombre de particions d'un ensemble finit
[modificar | Modificar lo còdi]Lo nombre de Bell Bn es lo nombre de particions diferentas d'un ensemble finit de n elements. Lei premiers nombres de Bell son :
- B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203.