Grop (matematicas)

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar

En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de grop es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

Estructura de grop[modificar | modificar la font]

Definicions[modificar | modificar la font]

L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat es un ensemble provesit d'una lèi de composicion intèrna satisfasent leis axiòmas seguents :

  • associativitat :
  • existéncia d'un element neutre :  ; se saup que e es unic
  • tot element de es simetrizable :  ; se saup que per cada element de , l'element es unic : es sonat simetric de .

Se ditz que es l'ensemble sosjacent au grop . Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.

Terminologia : en luòga de dire que lo pareu es un grop, se ditz sovent que « l'ensemble , provesit de la lèi de composicion intèrna , es un grop » ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar en plaça de (l'operacion intèrna es sosentenduda).

Commutacion e commutativitat[modificar | modificar la font]

Siá un grop .

Commutacion d'elements[modificar | modificar la font]

Se ditz que dos elements a, b de G commutan se .

Per exemple, tot element a commuta :

  • amb eu meteis :
  • amb l'element neutre :
  • amb son simetric :

Grop commutatiu[modificar | modificar la font]

Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :

  • (commutativitat)

Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

Notacions[modificar | modificar la font]

La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

Grop multiplicatiu[modificar | modificar la font]

Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :

  • s'escriu : x · y o x y en plaça de :
  • l'element neutre se nòta "1" o "1G" (element unitat de G)
  • per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta

Grop additiu[modificar | modificar la font]

Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :

  • s'escriu : x + y en plaça de :
  • l'element neutre se nòta "0" o "0G" (element nul, o zèro de G)
  • per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta

Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

Premierei proprietats[modificar | modificar la font]

Estent un grop onte lo simetric de cada element x se nòta x'  :

  • e' = e (lo simetric de l'element neutre e es e)
  • (simetric dau compausat de dos elements)
  • (simetric dau simetric d'un element)

Exemples[modificar | modificar la font]

  • L'ensemble deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble dei racionaus, de l'ensemble dei reaus, e de l'ensemble dei complèxes.
  • L'ensemble dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble dei complèxes diferents de 0.
  • L'ensemble dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.
  • Siá l'ensemble dei partidas d'un ensemble . Estent dos elements A, B de , se definís sa diferéncia simetrica, notada  :
.
L'ensemble , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja , e cada element de es son pròpri simetric : per tota partida A de ,
e

Còntraexemples[modificar | modificar la font]

  • L'ensemble deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins es 0.
  • L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
  • L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

Iterats d'un element per la lèi dau grop[modificar | modificar la font]

S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu[modificar | modificar la font]

Estent un grop multiplicatiu , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

  • (produch de m factors egaus a x)
  • (produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular, , çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs

Se definís ansin una aplicacion sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element es la poténcia d'exponent n de x.

Proprietats de l'exponenciacion[modificar | modificar la font]

 :

Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau . Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu :

Multiples d'un element d'un grop additiu[modificar | modificar la font]

Estent un grop additiu , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

  • (soma de m tèrmes egaus a x)
  • (soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular, , çò que justifica la notacion usuala de l'opausat

Se definís ansin una aplicacion qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element es lo multiple de coefficient n de x.

Proprietats[modificar | modificar la font]

 :

Sosgrop[modificar | modificar la font]

Definicion[modificar | modificar la font]

Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :

Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :

Exemples[modificar | modificar la font]

Dins un grop G :

  • l'ensemble que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
  • l'ensemble deis elements que commutan amb totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:

Morfisme de grops[modificar | modificar la font]

Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

Definicions[modificar | modificar la font]

  • Sián dos grops (d'element neutre ) e (d'element neutre ) . Un morfisme de vèrs es per definicion una aplicacion tala que
  • En particular, un endomorfisme dau grop es un morfisme de vèrs eu meteis.
  • Estent un morfisme de vèrs , se definís ansin son nuclèu (sosensemble de ), notat , e son imatge (sosensemble de ), notat  :
  • Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).
  • Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

Proprietats[modificar | modificar la font]

  • Siá un morfisme de vèrs (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
    •  : l'imatge per de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
    • Per tot element x de ,  : l'imatge per de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
    • Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins e n es un entier : .
  • L'aplicacion identica de es un automorfisme de .
  • La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius , , e dos morfismes de vèrs , de vèrs .
    Alora, l'aplicacion compausada es un morfisme de vèrs .
    En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.
  • L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.
  • L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.
  • La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de vèrs es un isomorfisme de vèrs dich isomorfisme recipròc.

Exemples[modificar | modificar la font]

  • Estent un reau a, l'aplicacion es un endomorfisme dau grop additiu  ; se , es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion
  • L'aplicacion es un isomorfisme dau grop additiu vèrs lo grop multiplicatiu (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
    • es bijectiva
L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion