Espaci vectoriau

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche


Gtk-dialog-info.svg Aqueste article es sortit d'un traductor automatic e fa besonh d'unas correccions de gramatica, d'ortografia e de sintaxi.
Soma vectorial e multiplicació per un escalar: un vector v (blau) s'apond a un autre vector w (illustracion roja, naut). Dejós, a w se li aplica un factor d'escalièr de 2, e se calcula alavetz la soma v + 2·w.

En matematicas, e mai concrètament en àlgebra lineal, un espaci vectorial es una estructura algebraica formada d'un ensems de vectors. Los vectors son d'objèctes que se pòdon somar entre eles e se pòdon multiplicar per un nombre, es a dire, "los aplicar un factor d'escalièr", qu'en aquel contèxt se nomenan escalars. Se considèra sovent que los escalars son de nombres reales, mas se pòdon tanben definir d'espacis vectorials amb la multiplicació escalar per nombres complèxes, nombres racionales o, quitament, còrsses mai generales en luòc d'emplegar de còrsses de nombres. Las operacions d'addicion vectorial e multiplicació escalar lor cal satisfar cèrts requisits, nomenats axiomes, que se descrivon a la seccion d'aquel article ont se dona la definicion formala d'espaci vectorial.

Un exemple d'espaci vectorial es çò dels vectors euclidians, que s'emplegan sovent per representar de quantitats fisicas coma fòrças. Doas fòrças quinsevolhe (qu'ajan lo meteis ponch d'aplicacion) se pòdon apondre, en las substituissent per una tresena fòrça que produsisca lo meteis efièch que se s'aplican las doas a l'encòp, e la multiplicació d'un vector força per un factor real es un autre vector força qu'a lo meteis ponch d'aplicacion, direccion e sens mas lo modul que se n'es multiplicat pel factor real. Un autre exemple mai purament geomètric son los vectors que representan de desplaçaments al plan o en l'espaci tridimensional, que forman tanben un espaci vectorial.

Los espacis vectorials son l'objècte d'estudi del àlgebra lineal e, dempuèi aquel punt d'enguarda, se n'a una compreneson prigonda recebut que los espacis vectorials se caracterizan per la siá dimension que, a grandas traches, especifica lo nombre de direccions independentas a l'espaci. La teoria s'agrandís en introdusint en los espacis vectorials qualque estructura addicionala, coma una nòrma o un produch escalar. Aquela sòrta d'espacis sorgisson de forma naturala en l'analisi matematica, principalament en la forma d'espacis de foncions de dimension infinida, los vectors que ne son de foncions. I a de problèmas analítics que requerisson l'abiletat de decidir s'una succession de vectors convergís en un vector donat. Aiçò s'atenh en emplegant d'espacis vectorials amb estructuras addicionalas, principalament espacis dotats d'una topologia adequada, que d'aquela manièra permeton definir de concèptes de proximitat e continuitat. Aqueles espacis vectorials topològics, en particular los espacis de Banach e los espacis de Hilbert, an una teoria mai vasta.

Istoricament, las primièras idèas que condusisson al concèpte d'espaci vectorial se pòdon remontar fins al sègle XVII amb los desvolopaments de la geometria analítica, las mairises, los sistèmas de equacions lineals, e los vectors euclidians. Lo tractament modèrn, mai abstracte, foguèt formulat inicialament per Giuseppe Peano a fins del sègle XIX; compren objèctes mai generales que l'espaci euclidià, mas granda part de la teoria se pòt veire coma un ampliament de las idèas geomètriques classicas coma linhas drechas, plans e los sieus anàlegs de dimension superiora.

A l'ora d'ara, los espacis vectorials s'aplican a las matematicas, la sciéncia e l'engenhariá. Son la nocion algebraica adaptada per tractar de sistèmas de equacions lineals, ofrisson una estructura per las sèrias de Fourier, que s'emplegan en tecnicianas de compressió d'image, o porg un entorn que se pòt emplegar per tecnicianas de solucion de equacions diferencialas en derivadas parcialas. De mai, los espacis vectorials provesisson una forma abstracta, independenta del sistèma de coordenades, per tractar amb objèctes geomètrics e fisics coma tensors, los que permeton examinar las proprietats localas de las varietats per tecnicianas de linealització. Los espacis vectorials se pòdon tanben generalisar de divèrsas manièras, e aiçò pòrta a nocions avançadas de geometria e àlgebra abstracta.