Carrat (geometria)

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar
Un carrat.

Un carrat (var. cairat) es un poligòn regular de quatre costats. Aquò significa que los seus quatre costats an la meteissa longor e los seus quatre angles la meteissa mesura. Un carrat es a l'encòp un rectangle e un lausange.

Lo carrat possedís fòrça proprietats de simetria e de regularitat. Tot carrat a quatre axes de simetria e es invariant per de rotacions d'angle drech. Dos costats consecutius d'un carrat son perpendiculars, quitament las diagonalas. Aquelas proprietats son conegudas depuèi la mai nauta Antiquitat. Las primièras representacions del carrat datan de la preïstòria. Es, amb lo cercle, l'una de las figuras geometricas remarcables mai estudiadas dempuèi l'Antiquitat, lo problèma de la quadratura del cercle apeteguèt fòrça matematicians pendent dos millennis.

Lo « carrat d'un nombre » designa tanben lo produch d'aquel nombre per el meteis. Es notat a × a = a2 es vist coma la superfícia d'un carrat de costat lo nombre inicial.

Proprietats[modificar | modificar la font]

Lo carrat es a l'encòp un lausange e un rectangle, possedís doncas las proprietats d'aqueles dos quadrilatèrs. Pòt tanben èsser vist coma un poligòn regular, çò que permet de desmostrar las seunas proprietats per deduccion d'aquelas d'aqueles poligòns.

Angles e costats[modificar | modificar la font]

Un carrat possedís quatre angles dreches (coma tot rectangle) e totes los seus costats an la meteissa longor (es un lausange). Los costats oposats d'un carrat son parallèls dos a dos, çò que ne fa un cas particulièr de parallelograma.

Diagonalas[modificar | modificar la font]

Un carrat notat ABCD amb las diagonalas.

Coma parallelograma particulièr, tot carrat possedís de diagonalas que se copan en lor mitan. Aquel punt d'interseccion es nomenat lo centre del carrat. Lo notam O. Las diagonalas de tot rectangle — e doncas de tot carrat — an la meteissa longor. Doncas existís un cercle de centre O passant pels quatre vertèxes del carrat. Lo rai d'aquel cercle es egal a la longor d'una miègdiagonala.

Las diagonalas de tot carrat son perpendicularas, coma aquelas de tot lausange.

Cada diagonala partatge lo carrat en dos triangles que son a l'encòp rectangles e isocèls. Ambedoas diagonalas delimitan dins lo carrat quatre triangles rectangles isocèls.

Mesuras[modificar | modificar la font]

Totes los carrats son semblables. Aquò significa que, per dos carrats donats, existís totjorn un agrandiment (o una reduccion) permetent de transformar l'un en l'autre en conservant los angles geometrics e las proporcions. Se pòt doncas definir entièrament un carrat per la longor c dels sèus costats.

L'aira d'un carrat es c×c = c2. Son perimètre mesura 4c e cada diagonala mesura c√2.

Lo carrat es, dentre los quadrilatèrs de meteisse perimètre, aquel que possedís la mai granda superfícia. Aquela figura es la responsa a la question d'isoperimetria dins los quadrilatèrs.

Dimensions d'un carrat de costat c e de diagonala d
Diagonala c \sqrt2
Costat \dfrac{d\sqrt2}{2}
Perimètre 4c = 2\sqrt2 d
Aira c^2 = \frac{1}{2}d^2

Simetrias[modificar | modificar la font]

Las transformacions daissant un carrat invariant son de dos tipes:

  • las simetrias axialas, que l'axe es o una diagonala del carrat, o una mediatritz d'un costat;
  • las rotacions que lo centre es lo centre del carrat e que l'angle es un multiple de l'angle drech.

Vaquí la lista, son uèit e forman un grop :

Group D8 id.svg
id (identitat: cada punt es conservat)
Group D8 90.svg
r1 (rotacion de 90° cap a drecha)
Group D8 180.svg
r2 (rotacion de 180°)
Group D8 270.svg
r3 (rotacion de 270° cap a drecha)
Group D8 fv.svg
fv (capvirament vertical)
Group D8 fh.svg
fh (capvirament orizontal)
Group D8 f13.svg
fd (capvirament seguent la primièra diagonala)
Group D8 f24.svg
fc (capvirament seguent la segonda diagonala)
Los elements del grop de simetria (D4). Los vertèxes son colorats e numerotats per visualizar las transformacions.

Tota drecha passant per O divisa lo carrat en doas partidas superposablas.

Construccion sonque al compàs[modificar | modificar la font]

Dessenh al compàs

Se vòl construire lo carrat de vertèxes ABCD coneissent sonque los punts A e B. Posam R la distància entre A e B; alara, procedèm atal:

  • traçam C1 lo cercle de centre A e de rai R (que conten alara B)
    ⇒ sus aquel cercle, avèm un tresen punt del carrat;
  • traçam C2 lo cercle de centre B e de rai R (que conten alara A)
    ⇒ sus aquel cercle, avèm lo quatren punt del carrat;
  • Pausam G un punt d'interseccion de C1 amb C2; construsèm alara lo punt I, simetric de B al repècte d'A:
    • traçam C3 centrat en G e de rai R ; aquel cercle copa C1 en B e en un autre punt H,
    • C4, de centre H e de rai R, copa C1 en G e en un nòu punt I;
  • pausam S la distància entre G e I; construsèm alara C5 de centre I e de rai S (contien de segur G);
  • C6 s'obten ne prenent per centre B e per rai S (conten de segur H); notam J lo punt d'interseccion entre C6 e C5 ques del meteis costat que G al repècte de la drecha (AB) ;
  • se T es la distància entre A e J, construsèm C7 lo cercle de centre A e de rai T (conten de segur J)
    ⇒ Lo punt C es obtengut per interseccion entre C7 e C2 ;
  • construsèm alara C8 de centre C e de rai R
    ⇒ l'interseccion de C8 e C1 es lo punt D.

Istòria[modificar | modificar la font]

La taulèta d'argila YBC 7289: una fòrça anciana (prèp de 1700 AbC) representacion d'un carrat amb las seunas diagonalas e una valor aproximativa de √2 (credits: Bill Casselman).

De terralhas ornadas de carrats son attestadas dempuèi lo Millenni VI abC en Mesopotamia[1].

De taulètas mòstran la coneissença de las simetrias e rotacions del carrat vèrs lo sègle XVIII. La taulèta BM 15285 conten una quarantena de problèmas matematics concernissent d'airas de figuras ligadas a de carrats[2].

Vejatz tanben[modificar | modificar la font]

Notas[modificar | modificar la font]

  1. David Fowler e Eleanor Robson(en)David Fowler e Eleanor Robson, « Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context », in Historia Mathematica, vol. 25, 1998, p. 366–378 estudi complèt de la taulèta
  2. id David Fowler e Eleanor Robson