Grop (matematicas)

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar

En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de grop es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

Estructura de grop[modificar | modificar la font]

Definicions[modificar | modificar la font]

L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat (G,\, *) es un ensemble G provesit d'una lèi de composicion intèrna * satisfasent leis axiòmas seguents :

Se ditz que G es l'ensemble sosjacent au grop (G,\, *). Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.

Terminologia : en luòga de dire que lo pareu (G,\, *) es un grop, se ditz sovent que « l'ensemble G, provesit de la lèi de composicion intèrna *, es un grop » ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar G en plaça de (G,\, *) (l'operacion intèrna es sosentenduda).

Commutacion e commutativitat[modificar | modificar la font]

Siá un grop (G,\, *) .

Commutacion d'elements[modificar | modificar la font]

Se ditz que dos elements a, b de G commutan se \ a * b = b * a .

Per exemple, tot element a commuta :

  • amb eu meteis : \ a * a = a * a
  • amb l'element neutre : \ a * e = e * a = a
  • amb son simetric : \ a * a' = a' * a = e

Grop commutatiu[modificar | modificar la font]

Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :

  • \ \forall\, x \in G,\, \forall\, y \in G,\, x * y = y * x (commutativitat)

Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

Notacions[modificar | modificar la font]

La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

Grop multiplicatiu[modificar | modificar la font]

Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :

  • s'escriu : x · y o x y en plaça de : \ x * y
  • l'element neutre se nòta "1" o "1G" (element unitat de G)
  • per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta x^{-1}

Grop additiu[modificar | modificar la font]

Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :

  • s'escriu : x + y en plaça de : \ x * y
  • l'element neutre se nòta "0" o "0G" (element nul, o zèro de G)
  • per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta -x

Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

Premierei proprietats[modificar | modificar la font]

Estent un grop (G,\, *) onte lo simetric de cada element x se nòta x'  :

  • e' = e (lo simetric de l'element neutre e es e)
  • \forall\, x \in G,\, \forall\, y \in G,\, (x * y)' = y' * x' (simetric dau compausat de dos elements)
  • \forall\, x \in G,\, (x')' = x (simetric dau simetric d'un element)

Exemples[modificar | modificar la font]

  • L'ensemble \mathbb{Z} deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble \mathbb{Q} dei racionaus, de l'ensemble \mathbb{R} dei reaus, e de l'ensemble \mathbb{C} dei complèxes.
  • L'ensemble \mathbb{Q}^\ast dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble \mathbb{R}^\ast dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble \mathbb{C}^\ast dei complèxes diferents de 0.
  • L'ensemble \mathcal{S}(X) dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.
\ A \vartriangle B = (A\, \setminus B) \cup (B\, \setminus A) = (A \cup B)\, \setminus (A \cap B) .
L'ensemble \mathcal{E} , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja \varnothing, e cada element de \mathcal{E} es son pròpri simetric : per tota partida A de \ \Omega,
\ A \vartriangle \varnothing = A e \ A \vartriangle A = \varnothing

Còntraexemples[modificar | modificar la font]

  • L'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins \mathbb{N} es 0.
  • L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
  • L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

Iterats d'un element per la lèi dau grop[modificar | modificar la font]

S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu[modificar | modificar la font]

Estent un grop multiplicatiu (G,\, \cdot) , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

  •  x^m = x \cdots  x (produch de m factors egaus a x)
  • \ x^{-m} = (x')^m (produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular,  x^{-1} = x', çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs
  • \ x^0 = 1_G

Se definís ansin una aplicacion \ \mathbb{Z} \times G \to G,\, (n,\, x) \mapsto x^n sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element  x^n es la poténcia d'exponent n de x.

Proprietats de l'exponenciacion[modificar | modificar la font]

 \forall\, n \in \mathbb{Z},\, \forall\, p \in \mathbb{Z}, \forall x \in G :

  •  x^{n+p} = x^n \cdot x^p
  •  \left(x^n\right)^{\,p} = x^{n\, p}

Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau  (x \cdot y)^n \neq x^n \cdot y^n. Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu :  (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n

Multiples d'un element d'un grop additiu[modificar | modificar la font]

Estent un grop additiu (G,\, +) , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

  • m \cdot x = x + \cdots + x (soma de m tèrmes egaus a x)
  •  (-m) \cdot x = m \cdot x' (soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular,  (-1) \cdot x = x', çò que justifica la notacion usuala de l'opausat
  • 0 \cdot x = 0_G

Se definís ansin una aplicacion \ \mathbb{Z} \times G \to G,\, (n,\, x) \mapsto n \cdot x qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element \ n \cdot x es lo multiple de coefficient n de x.

Proprietats[modificar | modificar la font]

 \forall\, n \in \mathbb{Z},\, \forall\, p \in \mathbb{Z},\, \forall\, x \in G,\, \forall\, y \in G :

  •  (n+p) \cdot x = (n \cdot x) + (p \cdot x)
  •  n \cdot (p \cdot x) = (n\, p) \cdot x
  •  n \cdot (x + y) = (n \cdot x) + (n \cdot y)

Sosgrop[modificar | modificar la font]

Definicion[modificar | modificar la font]

Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :

  • \forall\, x \in H,\, \forall\, y \in H,\, x * y \in H
  • \forall\, x \in H,\,\, x' \in H

Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :

  •  \forall\, x \in H,\, \forall\, y \in H,\, x * y' \in H

Exemples[modificar | modificar la font]

Dins un grop G :

  • l'ensemble \{e\} que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
  • l'ensemble Z(G) deis elements que commutan amb totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:
Z(G) = \{x \in G \mid \forall\, y \in G,\, x* y = y *x\}

Morfisme de grops[modificar | modificar la font]

Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

Definicions[modificar | modificar la font]

  • Sián dos grops (G_1,\, \ast) (d'element neutre e_1) e (G_2,\, \star) (d'element neutre e_2) . Un morfisme de (G_1,\, \ast) vèrs (G_2,\, \star) es per definicion una aplicacion f : G_1 \to G_2 tala que
\ \forall\, (x,\, y)\in G_1^2,\; f(x * y) =f(x) \star f(y)
  • En particular, un endomorfisme dau grop (G,\, \ast) es un morfisme de (G,\, \ast) vèrs eu meteis.
  • Estent un morfisme \ f de (G_1,\, \ast) vèrs (G_2,\, \star) , se definís ansin son nuclèu (sosensemble de \ G_1 ), notat \ \ker(f) , e son imatge (sosensemble de \ G_2 ), notat \ \mathrm{im}(f) :
\ker(f) = \{ x \in G_1 \mid f(x) = e_2\} = f^{-1}(\{e_2\})
\ \mathrm{im}(f) = \{ y \in G_2 \mid \exists\, x \in G_1,\, f(x) = y\} = f(G_1)
  • Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).
  • Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

Proprietats[modificar | modificar la font]

  • Siá un morfisme \ f de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_2,\, \cdot) (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
    • \ f(e_1) = e_2 : l'imatge per \ f de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
    • Per tot element x de \ G_1, \ f(x^{-1}) = f(x)^{-1} : l'imatge per \ f de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
    • Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins \ G_1 e n es un entier : f\left(x^{n}\right) = (f(x))^{\,n}.
  • La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius (G_1,\, \cdot) , (G_2,\, \cdot) , (G_3,\, \cdot) e dos morfismes \ f de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_2,\, \cdot) , \ g de (G_2,\, \cdot) vèrs (G_3,\, \cdot) .
    Alora, l'aplicacion compausada  \ g \circ f es un morfisme de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_3,\, \cdot).
    En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.
  • L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.
  • L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.
  • La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de (G_1,\, \cdot) vèrs (G_2,\, \cdot) es un isomorfisme de (G_2,\, \cdot) vèrs (G_1,\, \cdot) dich isomorfisme recipròc.

Exemples[modificar | modificar la font]

  • Estent un reau a, l'aplicacion f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto a\, x es un endomorfisme dau grop additiu \mathbb{R} ; se \ a \neq 0 , f es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto a^{-1}\, x
  • L'aplicacion f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^\ast_+,\, x \mapsto \exp{x} es un isomorfisme dau grop additiu \mathbb{R} vèrs lo grop multiplicatiu \mathbb{R}^\ast_+ (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
    • es bijectiva
    • \ \forall\, (x,\, y)\in \mathbb{R}^2,\; \exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)
L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion f^{-1} : \mathbb{R}^\ast_+ \to \mathbb{R},\, y \mapsto \ln{y}