Parabòla

Pels articles omonims, vejatz Parabòla (omonimia).

La parabòla es una corba plana simetrica per l'ais de las ordenadas. Se pòt definir matematicament de mai d'un biais, equivalents. Mai sovent, la parabòla se definís coma una corba plana que cadun dels punts se situa a egala distança d'un punt fixe, lo fogal, e d'una drecha fixa, la directritz. Mas se pòt tanben la definir coma l'interseccion d'un plan amb un còn de revolucion quand lo plan es parallèl amb un autre plan tangent a la surperfícia del còn.

S'agís d'un tipe de corba algebrica que fòrça proprietats geometricas interessèron los matematicians dempuèi l'Antiquitat e recebèron d'aplicacions tecnicas varietats en optica, telecomunicacion, eca.

Matematicas

Seccion conica

Las parabòlas fan partit de la familha dels conics, es a dire de las corbas que s'obtenon per l'interseccion d'un còn de revolucion amb un plan; per l'escasença, la parabòla es obtenguda qunad lo plan es parallèl a l'una de las generatriças del còn e perpendicular a l'autre plan que conten la meteissa generatritz e l'axe del còn.

Directritz, fogal e excentricitat

La parabòla es l'interseccion d'un plan amb un còn de revolucion quand lo plan es parallèla a una de las generatriças del còn.

Sián $D$ una drecha e $F$ un punt apartenent pas a $D$ , e siá $P$ lo plan contenent la drecha $D$ e lo punt $F$ . Se nomena parabòla de drecha directritz $D$ e de fogal $F$ l'ensems dels punts $M$ del plan $P$ a egala distança del fogal $F$ e de la drecha $D$ , es a dire verificant:

d(M,F)=d(M,D)

ont $d(M,F)$ mesura la distança del punt $M$ al punt $F$ e $d(M,D)$ mesura la distança del punt $M$ a la drecha $D$ . La parabòla es un biais de conic que l'excentricitat $e$ val 1.

Equacions

Dempuèi lo fogal e la directritz

Se la parabòla es donada per son fogal $F$ e sa directritz ${\mathcal {D}}$ , se noma $O$ lo projectat ortogonal de $F$ sus ${\mathcal {D}}$ , se nomena $p$ (paramètre de la parabòla) la distança $OF$ e se nomena $S$ lo mitan de $[FO]$ . Alara, dins la marca ortonormada $(S,{\vec {i}},{\vec {j}})$ ont ${\vec {j}}$ a meteissa direccion e sens que ${\overrightarrow {OF}}$ , l'equacion de la parabòla es

y={\frac {x^{2}}{2p}}

Dempuèi la foncion del segond gra

La corba representativa d'una foncion polinòma del segond gra d'equacion

y=ax^{2}+bx+c

ont $a,\,b$ e $c$ son de constantas realas ( $a$ non nul), es una parabòla. Dins lo cas $a=1$ , $b=0$ , e $c=0$ s'obtien una expression simpla per una parabòla: $y=x^{2}$ .

Dins la marca $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$ , la cima $S$ d'una parabòla es lo punt de coordonadas $\left(-{\tfrac {b}{2a}};-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)$ . Son axe de simetria es l'axe $(S{\vec {j}})$ .

Dins la marca $(S,{\vec {i}},{\vec {j}})$ , son equacion es

$Y=aX^{2},$

Son fogal es lo punt $F\left(0;{\tfrac {1}{4a}}\right)$ e sa directritz es la drecha ${\mathcal {D}}$ d'equacion $Y=-{\frac {1}{4a}}$

Dins la marca $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$ , lo fogal a donc per coordonadas^[1] $\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {1-\Delta }{4a}}\right)$ e la directritz per equacion $y=-{\frac {1+\Delta }{4a}}$ ont $\Delta =b^{2}-4ac$

Dempuèi l'equacion generala

Siá l'equacion $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0$ , dins una marca ortonormala. Se $B^{2}-AC=0$ alara aquela equacion es aquela d'una parabòla o de dos drechas parallèlas.

Reciprocament, se (C) es una parabòla, alara possedís, dins tota marca ortonormala, una equacion de la forma precedenta.

Siá l'equacion $Ax^{2}+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0$ , dins una marca ortonormala. Se $AC=0$ amb $AE$ o $DC$ non nul alara aquela equacion es aquela d'una parabòla que l'axe es parallèl a un dels axes de la marca.

Equacion polara

Dins la marca polara $(O,{\vec {e}}_{r},{\vec {e}}_{\theta })$ ont O es lo fogal de la parabòla e l'axe polar n'es l'axe fogal, l'equacion de la parabòla es ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {OP}}={\frac {p}{1+\cos(\theta )}}{\vec {e}}_{r}$ .

Parametrizacion

Dins la marca cartesiana $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$ ont $O$ es lo punt situat al mitan del segment constituit del fogal $F$ e de sa projeccion $H$ sus la directritz e ont ${\vec {j}}$ es un vector unitari orientat de $O$ cap a $F$ , se pòt envisatjar mai d'una parametrizacions de la parabòla:

Una parametriszacion cartesiana per l'abscissi: ${\overrightarrow {OP}}(x)=x{\vec {i}}+{\frac {x^{2}}{2p}}{\vec {j}}$ , per tot $x\in \mathbb {R}$
Une parametrizacion cartesiana per l'ordonnada: ${\overrightarrow {OP}}(y)=(\pm {\sqrt {2py}}){\vec {i}}+y{\vec {j}}$ , pour tout $y\in \mathbb {R} ^{+}$
De parametrizacions cartesianas dependent caduna d'una constanta arbitrària a>0 : ${\overrightarrow {OP}}(t)=2pat{\vec {i}}+2pa^{2}t^{2}{\vec {j}}=2pa(t{\vec {i}}+at^{2}{\vec {j}})$ , per tot $t\in \mathbb {R}$

(Per a=1/(2p) se trapa la parametrizacion per l'abscissi.) Aquelas parametrizacions son regularas (i.e. lo vector derivat ne s'anulan pas). Lo vector $(1,2at)$ dirigís alara la tangenta al punt de paramètre $t$ .

De proprietats geometricas de la parabòla

Còrdas parallèlas

Totas las còrdas parallèlas an lor mitan situat sus una drecha perpendiculara a la directritz. La tangenta parallèla a aquela direccion a son punt de contacte sus aquela drecha. Las doas tangentas a la parabòla als tèrmes d'una tala còrda se trencan sus aquela drecha.

Tangenta e bisectritz

Se A es un punt sus una parabòla definida per un fogal F e une directritz (d), alara la tangenta de la parabòla en A es la bisectritz interiora de l'angle formada per F, A e lo projectat ortogonal de A sus (d).

Aquela proprietat explica lo principi dels miralhs parabolics: l'angle que fan las drechas (AF) e (b) es egal a l'angle que fan las drechas (AH) e (b), donc las drechas (AH) e (AF) son simetrica al respècte de la tangenta, e tanben al respècte de la normala a la tangenta. En optica, aquò significa qu'un rai eissit de F e tocant A subís un rebat especular de direccion (AH), que segon la lei de Snell-Descartes, l'angle d'incidéncia es egala a l'angle de rebat. Donc, totes los rais eissits de F son rebatuts dins la meteissa direccion, perpendiculara a (d).

Proprietat al respècte de l'ortoptica

Se desplaçant le long de sa directritz, la parabòla es totjorn vist jos un angle drech.

Sián $M$ e $M'$ los punts d'interseccion d'una drecha quina que siá passant pel fogal de la parabòla amb la parabòla. Las doas tangentas de la parabòla passant per $M$ e $M'$ se trencan sus la directritz formant un angle drech entre elas. Mai, se se nomena $H$ e $H'$ los projectats respectius de $M$ e $M'$ sus la directritz e $O$ lo punt d'interseccion de las doas tangentas e de la directritz, alara $O$ es le mitan de $[HH']$ .

Se desplaçant lo long de sa directritz, la parabòla es totjorn vist jos un angle drech.

Aplicacions

Fisica

La parabòla es la trajectòria descricha per un objècte que se lança se se pòt negligir la corbadura de la Tèrra, lo frejadís de l'aire (vent, ralentissen l'objècte) e la variacion de la gravitat amb la nautor.

Torricelli demostrèt (1640) que l'envelòpa d'aquelas trajectòrias es d'esperela una parabòla: parabòla de seguretat.

Ondas hertzienas e lutz

Per metonimia, una parabòla designa una antena parabolica. S'agís mai exactament d'una aplicacion de las proprietats de la superfícia nomenada paraboloíd de revolucion.

Los paraboloíds permeton siá de concentrar d'ondas o de rais dins un punt, lo fogal de la parabòla (es aquela proprietat qu'es utilizada per las antenas), siá al contrari de difusar jos la forma d'un fais cilindric la lutz producha per una ampola al fogal de la parabòla (proprietat expleitada per un projector o un far).

Un cilindre parabolic permet, tanben, de concentrar la lutz sus una drecha, per exemple dins de concentrators solars

Bibliografia

(fr) Eiden, Jean-Denis (2009). Géométrie analytique classique. Calvage & Mouner. ISBN 978-2-91-635208-4.
(fr) Fresnel, Jean. Méthodes modernes en géométrie.
(fr) Ingrao, Bruno. Coniques affines, euclidiennes et projectives. ISBN ISBN 978-2-916352-12-1.

Referéncia

↑ illustracion animada amb geogebra

Vejatz tanben

Articles connèxes

Conics
- Iperbòla
- Ellipsa

Ligams extèrnes

(fr) Cors de geometria de wanner Gerhard de l'Universitat de Genèva, seccion de matematicas.
(fr) Los teorèmas "belgas" - Conics e teorèma de Dandelin.
(fr) Lançament del pés - Parabòla de seguretat.

[1] ustracion animada amb geogebra

[1]