Parabòla

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar
Pagina d'ajuda sus l'omonimia Pels articles omonims, veire Parabòla (omonimia).
Una parabòla.

La parabòla es una corba plana, simetrica al respècte d'un axe, gaireben en forma d'U. Se pòt definir matematicament de mai d'un biais, equivalents. Mai sovent, la parabòla se definís coma una corba plana que cadun dels punts se situa a egala distança d'un punt fixe, lo fogal, e d'una drecha fixa, la directritz. Mas se pòt tanben la definir coma l'interseccion d'un plan amb un còn de revolucion quand lo plan es parallèl amb un autre plan tangent a la surperfícia del còn.

S'agís d'un tipe de corba algebrica que fòrça proprietats geometricas interessèron los matematicians dempuèi l'Antiquitat e recebèron d'aplicacions tecnicas varietats en optica, telecomunicacion, eca.

Matematicas[modificar | modificar la font]

Seccion conica[modificar | modificar la font]

Las parabòlas fan partit de la familha dels conics, es a dire de las corbas que s'obtenon per l'interseccion d'un còn de revolucion amb un plan; per l'escasença, la parabòla es obtenguda qunad lo plan es parallèl a l'una de las generatriças del còn e perpendicular a l'autre plan que conten la meteissa generatritz e l'axe del còn.

La parabòla es l'interseccion d'un plan amb un còn de revolucion quand lo plan es parallèla a una de las generatriças del còn.

Directritz, fogal e excentricitat[modificar | modificar la font]

Parabòla de drecha directritz d e de fogal F.

Sián una drecha e un punt apartenent pas a , e siá lo plan contenent la drecha e lo punt . Se nomena parabòla de drecha directritz e de fogal l'ensems dels punts del plan a egala distança del fogal e de la drecha , es a dire verificant:

ont mesura la distança del punt al punt e mesura la distança del punt a la drecha . La parabòla es un biais de conic que l'excentricitat val 1.

Equacions[modificar | modificar la font]

Dempuèi lo fogal e la directritz[modificar | modificar la font]

Se la parabòla es donada per son fogal e sa directritz , se noma lo projectat ortogonal de sus , se nomena (paramètre de la parabòla) la distança e se nomena lo mitan de . Alara, dins la marca ortonormada ont a meteissa direccion e sens que , l'equacion de la parabòla es

Dempuèi la foncion del segond gra[modificar | modificar la font]

La corba representativa d'una foncion polinòma del segond gra d'equacion

ont e son de constantas realas ( non nul), es una parabòla. Dins lo cas , , e s'obtien una expression simpla per una parabòla: .

Dins la marca , la cima d'una parabòla es lo punt de coordonadas . Son axe de simetria es l'axe .

Dins la marca , son equacion es


Son fogal es lo punt e sa directritz es la drecha d'equacion

Dins la marca , lo fogal a donc per coordonadas[1] e la directritz per equacion ont

Dempuèi l'equacion generala[modificar | modificar la font]

Siá l'equacion , dins una marca ortonormala. Se alara aquela equacion es aquela d'una parabòla o de dos drechas parallèlas.

Reciprocament, se (C) es una parabòla, alara possedís, dins tota marca ortonormala, una equacion de la forma precedenta.

Siá l'equacion , dins una marca ortonormala. Se amb o non nul alara aquela equacion es aquela d'una parabòla que l'axe es parallèl a un dels axes de la marca.

Equacion polara[modificar | modificar la font]

Dins la marca polara ont O es lo fogal de la parabòla e l'axe polar n'es l'axe fogal, l'equacion de la parabòla es .

Parametrizacion[modificar | modificar la font]

Dins la marca cartesiana ont es lo punt situat al mitan del segment constituit del fogal e de sa projeccion sus la directritz e ont es un vector unitari orientat de cap a , se pòt envisatjar mai d'una parametrizacions de la parabòla:

  1. Una parametriszacion cartesiana per l'abscissi: , per tot
  2. Une parametrizacion cartesiana per l'ordonnada: , pour tout
  3. De parametrizacions cartesianas dependent caduna d'una constanta arbitrària a>0 : , per tot

(Per a=1/(2p) se trapa la parametrizacion per l'abscissi.) Aquelas parametrizacions son regularas (i.e. lo vector derivat ne s'anulan pas). Lo vector dirigís alara la tangenta al punt de paramètre .

De proprietats geometricas de la parabòla[modificar | modificar la font]

Còrdas parallèlas[modificar | modificar la font]

Totas las còrdas parallèlas an lor mitan situat sus una drecha perpendiculara a la directritz. La tangenta parallèla a aquela direccion a son punt de contacte sus aquela drecha. Las doas tangentas a la parabòla als tèrmes d'una tala còrda se trencan sus aquela drecha.

Tangenta e bissectritz[modificar | modificar la font]

Se A es un punt sus una parabòla definida per un fogal F e une directritz (d), alara la tangenta de la parabòla en A es la bissectritz interiora de l'angle formada per F, A e lo projectat ortogonal de A sus (d).

Illustracion de la proprietat en optica.

Aquela proprietat explica lo principi dels miralhs parabolics: l'angle que fan las drechas (AF) e (b) es egal a l'angle que fan las drechas (AH) e (b), donc las drechas (AH) e (AF) son simetrica al respècte de la tangenta, e tanben al respècte de la normala a la tangenta. En optica, aquò significa qu'un rai eissit de F e tocant A subís un rebat especular de direccion (AH), que segon la lei de Snell-Descartes, l'angle d'incidéncia es egala a l'angle de rebat. Donc, totes los rais eissits de F son rebatuts dins la meteissa direccion, perpendiculara a (d).

Proprietat al respècte de l'ortoptica[modificar | modificar la font]

Se déplaçant le long de sa directritz, la parabòla es totjorn vist jos un angle drech.

Sián e los punts d'interseccion d'una drecha quina que siá passant pel fogal de la parabòla amb la parabòla. Las doas tangentas de la parabòla passant per e se trencan sus la directritz formant un angle drech entre elas. Mai, se se nomena e los projectats respectius de e sus la directritz e lo punt d'interseccion de las doas tangentas e de la directritz, alara es le mitan de .

Se desplaçant lo long de sa directritz, la parabòla es totjorn vist jos un angle drech.

Aplicacions[modificar | modificar la font]

Fisica[modificar | modificar la font]

trajectòria parabolica.

La parabòla es la trajectòria descricha per un objècte que se lança se se pòt negligir la corbadura de la Tèrra, lo frejadís de l'aire (vent, ralentissen l'objècte) e la variacion de la gravitat amb la nautor.

  • Torricelli demostrèt (1640) que l'envelòpa d'aquelas trajectòrias es d'esperela una parabòla: parabòla de seguretat.

Ondas hertzienas e lutz[modificar | modificar la font]

Per metonimia, una parabòla designa una antena parabolica. S'agís mai exactament d'una aplicacion de las proprietats de la superfícia nomenada paraboloíd de revolucion.

Principi del lum automobil de miralh parabolic.

Los paraboloíds permeton siá de concentrar d'ondas o de rais dins un punt, lo fogal de la parabòla (es aquela proprietat qu'es utilizada per las antenas), siá al contrari de difusar jos la forma d'un fais cilindric la lutz producha per una ampola al fogal de la parabòla (proprietat expleitada per un projector o un far).

Un cilindre parabolic permet, tanben, de concentrar la lutz sus una drecha, per exemple dins de concentrators solars

Bibliografia[modificar | modificar la font]

  • (fr)Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
  • (fr)Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
  • (fr)Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, ISBN 978-2-916352-12-1

Referéncia[modificar | modificar la font]

  1. illustracion animada amb geogebra

Vejatz tanben[modificar | modificar la font]

Articles connèxes[modificar | modificar la font]

Ligams extèrnes[modificar | modificar la font]