Nombre

Lei nombres son d'entitats abstrachas utilizadas dins lo comptatge e la mesura, e que permeton, per mejan dau calcul, d'accedir en d'informacions novèlas. Son presents dins lo lengatge e dins fòrça activitats umanas. En particular, la sciéncia modèrna existiriá pas sens elei, e lei tecnicas numericas jògan un ròtle de mai en mai important dins nòstrei societats. Lei matematicas son la disciplina que, dempuei l'Antiquitat, estúdia lei nombres, n'aprefondís la conoissença, e n'alarga la portada per de generalizacions successivas.

Remarcas terminologicas

Chifra

Una chifra es un caractèr utilizat per escriure un nombre o un numèro dins un sistèma de numeracion. Una error frequenta es de confondre lei nocions de «chifra» e de «nombre» (una error analòga seriá de pas destriar lei nocions de «letra» e de «mot», o la letra a de la preposicion a).

Per exemple (en numeracion decimala):

18 es un nombre de doas chifras,

25 − 17 = 8 (resultat d'una operacion) es un nombre e non pas una chifra, e mai son escritura decimala compòrte una soleta chifra.

Numèro

Un numèro es una lista de chifras que sièrve pas a comptar o a mesurar e que jòga generalament lo ròtle d'una etiqueta numerica: per exemple, un numèro de telefòn.

Tipes de nombres

Existisson divèrs tipes de nombres; per òrdre de generalitat creissenta, citem: leis entiers naturaus, lei nombres entiers, lei nombres decimaus, lei nombres racionaus, lei nombres reaus, lei nombres complèxes (puei encara d'autrei coma lei qüaternions, leis octonions...).

Se'n fa aicí una presentacion informala, onte se classa leis ensembles de nombres segon l'òrdre precedent.

Entiers naturaus

Lei nombres pus familiars son leis entiers naturaus, elements de l'ensemble $\mathbb {N}$, utilizats per lo comptatge: 0, 1, 2, 3, ... Se i definís doas operacions: l'addicion e la multiplicacion.

Per còntra, la sostraccion pausa problèma: se pòt que la diferéncia de dos entiers naturaus siá pas definida dins $\mathbb {N}$; per exemple, se i pòt pas definir d = 2 − 4 perque existís ges d'entier naturau d tau que 4 + d = 2. Se ditz que l'eqüacion 4 + d = 2 d'inconeguda d a pas de solucion dins $\mathbb {N}$.

Nombres entiers

Per obviar a aquela dificultat, se definís de nombres novèus, que son leis entiers (estrictament) negatius, permetent de donar sens a una sostraccion coma la precedenta: 2 − 4 = −2. Un tau nombre se pòt interpretar concretament en tèrmes comptables coma un deute. Per exemple, s'una persona dispausant de 2 èuros crompa un article de 4 èuros (lo comerciant li fasent crèdit), dispausarà finalament d'una soma de 2 − 4 = −2 èuros; autrament dich, aurà un deute de 2 èuros. Leis entiers negatius s'utilizan correntament dins l'escala dei temperaturas: una temperatura de −3 °C es 3 °C en dessota de 0 °C.

L'ensemble constituit deis entiers naturaus e deis entiers negatius se nòta $\mathbb {Z}$ (l'iniciala de l'alemand Zahl, «nombre»; Zahlen au plurau) e seis elements son lei nombres entiers, que generalizan leis entiers naturaus. Se i definís tres operacions: l'addicion, la sostraccion e la multiplicacion. Se ditz que l'ensemble $\mathbb {Z}$, provesit de l'addicion e de la multiplicacion, es un anèu commutatiu.

Per còntra, la division pausa problèma: se pòt que lo quocient de dos entiers siá pas definit dins $\mathbb {Z}$; per exemple, se i pòt pas definir lo quocient $\ r=2/3$ perque existís ges d'entier r tau que 3 r = 2. Autrament dich, l'eqüacion 3 r = 2 d'inconeguda r a pas de solucion dins $\mathbb {Z}$.

Nombres racionaus

Una segonda generalizacion permet de tractar la dificultat: se definís lei nombres racionaus. Cadun d'elei s'escriu coma una fraccion r = p / q de dos entiers p, q onte q es diferent de 0, per exemple 2 / 3, o (−3) / 4 = 3 / (−4) que se pòt tanben escriure −3 / 4; la fraccion representa lo quocient dei dos entiers. Lei racionaus generalizan leis entiers, car tot entier n es lo racionau n / 1.

L'ensemble dei nombres racionaus se nòta $\mathbb {Q}$ (l'iniciala de quocient). Se i definís quatre operacions: l'addicion, la sostraccion, la multiplicacion e la division. Se ditz que l'ensemble $\mathbb {Q}$, provesit de l'addicion e de la multiplicacion, es un còrs commutatiu.

En escritura decimala, lei nombres racionaus se caracterizan per la periodicitat de son desvolopament: a partir d'una cèrta posicion, un grop de decimalas se repetís. Per exemple:
253 / 700 = 0,36 142857 142857 142857..., onte lo grop de decimalas 142857 (sonat periòde dau desvolopament) se repetís indefinidament après la segonda decimala.

Nombres decimaus

Lei nombres decimaus son lei racionaus que se pòdon escriure coma lo quocient $\ n/10^{m}$ (onte $n\in \mathbb {Z}$ e $m\in \mathbb {N}$) d'un entier e d'una poténcia de 10. Se caracterizan per un desvolopament decimau finit, valent a dire que sei decimalas son totei nullas (e s'escrivon pas) a partir d'una cèrta posicion: per exemple:

3 / 25 = 12 / 10² = 0,12 es decimau

1 / 3 = 0, 333 333 333... o es pas.

La soma e lo produch de dos nombres decimaus son tanben de nombres decimaus (mai pas lo quocient en generau).

L'ensemble dei nombres racionaus se nòta $\mathbb {D}$ (l'iniciala de decimau). Provesit de l'addicion e de la multiplicacion, es un anèu commutatiu.

Nombres reaus

Lei nombres reaus comprenon totei lei nombres utilizats dins de mesuras. Generalizan lei nombres racionaus, car coma elei, an un desvolopament decimau, mai aquest es pas necessariament periodic.

Per exemple:

• lo nombre ${\sqrt {2}}=1,414\;213\;562\;373\dots \;$ es la longor de la diagonala d'un carrat qu'a per costat c = 1: se saup dempuei l'Antiquitat qu'aqueu nombre reau es pas racionau: se ditz qu'es irracionau.
• lo nombre $\pi =3,141\;592\;653\;589\dots \;$ es la circonferéncia d'un ceucle qu'a per diamètre d = 1: se saup dempuei lo sègle XVIII (foguèt demostrat per Johann Heinrich Lambert) qu'aqueu nombre reau es irracionau.

L'ensemble dei nombres reaus se nòta $\mathbb {R}$ (l'iniciala de reau). Se i definís quatre operacions: l'addicion, la sostraccion, la multiplicacion e la division. L'ensemble $\mathbb {R}$, provesit de l'addicion e de la multiplicacion, es un còrs commutatiu.

De mai, $\mathbb {R}$ es totalament ordenat: existís una relacion d'òrdre totau notada «$\leq$» que permet de comparar dos reaus x, y quins que sián.

Finalament, se pòt representar l'ensemble $\mathbb {R}$ dei nombres reaus per una drecha (la «drecha reala»), cada nombre reau x correspondent au ponch (unic) de la drecha qu'a per abscissa x.

Nombres complèxes

Existís pas de nombre reau qu'a per carrat −1. Aquesta impossibilitat menèt de matematicians italians dau sègle XVI a l'invencion de nombres novèus, sonats inicialament nombres imaginaris (en oposicion a nombres reaus), e que son nom actuau es nombres complèxes. Lei nombres complèxes son leis expressions $\ z=x+\mathrm {i} \,y$, onte x, y son dos reaus sonats respectivament partida reala e partida imaginària dau nombre complèxe z, e $\ \mathrm {i}$ es un nombre complèxe que (per definicion) verifica la relacion:

$\ \mathrm {i} ^{2}=-1$

Generalizan lei nombres reaus, car per tot reau x:

$\ x=x+\mathrm {i} \cdot 0$; autrament dich, lei nombres reaus son, entre lei nombres complèxes, aquelei qu'an 0 per partida imaginària.

L'ensemble dei nombres complèxes se nòta $\mathbb {C}$. Se i definís una addicion e una multiplicacion; per definicion, se x, y, u, v son de reaus:

$\ (x+\mathrm {i} \,y)+(u+\mathrm {i} \,v)=(x+u)+\mathrm {i} \,(y+v)$

$\ (x+\mathrm {i} \,y)\cdot (u+\mathrm {i} \,v)=x\,u+\mathrm {i} \,y\,u+\mathrm {i} \,x\,v+\mathrm {i} ^{2}\,y\,v=(x\,u-y\,v)+\mathrm {i} \,(x\,v+y\,u)$

L'ensemble $\mathbb {C}$, provesit de l'addicion e de la multiplicacion, es eu tanben un còrs commutatiu.

Se pòt representar l'ensemble $\mathbb {C}$ dei nombres complèxes per un plan (lo «plan complèxe»), cada nombre complèxe $\ z=x+\mathrm {i} \,y$ correspondent au ponch dau plan qu'a per abscissa x e per ordenada y.

En defòra dei matematicas, que n'an desvolopat fòrça l'estudi e onte son venguts indispensables dins fòrça domenis (comprés l'estudi dei nombres entiers), lei nombres complèxes s'utilizan en fisica (en particular: teoria dei corrents alternats, fisica qüantica).

Cadena d'inclusions

Lei generalizacions successivas que se vèn de citar de la nocion de nombre son resumidas dins aquesta cadena (onte cada ensemble es un sosensemble pròpri dau seguent: leis ensembles son totei diferents):

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {D} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Bibliografia

• (en) John H. Conway & Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, 1996, 310 paginas.