Nombre decimal

Posicion de l'ensemble dels decimals D al respècte de l'ensemble dels entièrs relatius Z e a l'ensemble dels racionals Q.

Un nombre decimal es un nombre possedissent un desvelopament decimal limitat, es a dire un nombre que s'escriu amb una quantitat quina que siá, mas finida, de chifres a drecha de la virgula en basa 10. Los nombres decimals son las fraccions d'entièrs per de poténcias de 10.

Caracterizacion

Se a es un nombre real, las proprietats seguentas son equivalentas e caracterizan lo fach que lo nombre a es decimal:

1. a admet un desvolopament decimal limitat;
2. existís un entièr relatiu m e un entièr natural p tals que $a={\frac {m}{10^{p}}}$ ;
3. se pòt escriure a sota la forma d'una fraccion irreductibla ${\frac {b}{5^{m}\times 2^{p}}}$, ont b es un entièr relatiu, e m e p d'entièrs naturals;
4. o a possedís dos desvelopaments decimals distinctes, o a = 0.

Remarcas

• La primièra assercion destria 1,6666, qu'es un nombre decimal, de 1,6666… que n'es pas un (aqueste carrièr nombre, que s'escriariá amb una infinitat de 6, pòt s'escriure 5/3 jos forma de fraccion).
• La segonda assercion nos dich qu'un nombre tal que ${\frac {765}{10^{8}}}$ es un nombre decimal. (pòt malaisidament èsser utilizada per probar qu'un nombre donat jos forma de fraccion es pas decimal, que la fraccion qu'es mencionada dins l'enonciat es pas necessàriament irreductibla).
• La tresena assercion dona un metòde per reconéisser se un nombre racional es decimal: sufís de determinar sa fraccion irréductibla (per exemple  calculant le PGCD de son numerator e de son denominator), puèi de testar se lo denominator es unicament divisible per 2 o per 5.
• La quatrena assercion confirma una proprietat dels nombres decimals qu'es a vegada considerada coma una « curiositat » : lo nombre 2,5 pòt tanben s'escriure 2,4999… (amb una infinitat de 9). Autrament dich, lo desvelopament decimal de nombres decimals es pas unic quand s'autoriza los desvelopaments decimals infinits.

Estructura algebrica

• L'ensemble dels decimals es sovent notat $\mathbb {D}$.
• L'ensemble dels nombres decimals munit de las leis d'addicion e de multiplicacion es notat $(\mathbb {D} ,+,\times )$. Es un un anèl intègre, qu'es la localizacion de ℤ al respècte de l'ensemble de las poténcias entièras positivas de 10. Son còrs de las fraccions es lo còrs ℚ dels nombres racionals.

Topologia

L'ensemble $\mathbb {D}$ dels decimals dens dins ℝ. Autrament dich, tot nombre real es la limita d'una seguida de nombres decimals: per exemple, sas aproximacions decimalas de tot òrdre (valor aprochada).

Utilizacion

Es per tòca d'armonizar l'usatge dels nombres decimals amb aqueste de las unitats de mesura que los revolucionaris franceses de 1789 foguèron menats a introduire lo sistèma metric, qu'es un sistèma d'unitats decimal.

Nòtas e referéncias

• René Taton, Histoire du calcul, vol. 198, PUF, coll. « Que sais-je ? », 1969, p. 60

Vejatz tanben

• Basa (aritmetica), al subjècte del nombre de chifres considerats
• Simon Stevin