Equacion diferenciala

Exemple d'eqüacion diferenciala entre una foncion f e la sieua derivada.

Una eqüacion diferenciala (var. equacion diferenciala) es una eqüacion que la ò li sieui inconoissudas son de foncions e que se presenta sota la forma d'una relacion entre aqueli foncions e li sieui derivadas successivi. En l'abséncia de precisions particulari, lo tèrme designa generalament li « equäcions diferenciali ordinari » que son caracterizadi per de foncions inconoissudi dependenti d'una variabla unica. Totun, existisse un segond tipe d'eqüacions diferenciali, li eqüacions diferenciali parciali, dont la ò li foncions inconoissudi pòdon dependre de mai d'una variabla.

Li eqüacions diferenciali an un ròtle important dins li sciéncias modèrni car aparéisson frequentament dins lu modèles actuaus, especialament en fisica, en quimia e en biologia. En causa d'aquela importància, aqueli eqüacions an fach l'objècte de recèrcas per trobar de metòdes de resolucion sistematica. Aquò es a l'origina d'una classificacion dei eqüacions diferenciali en foncion dau tipe d'eqüacions implicadi dins l'egalitat.

Istòria

Li eqüacions diferenciali son apareissudi a la fin dau sègle XVII emb l'invencion dau calcul diferencial per Isaac Newton (1642-1726) e per Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). D'efècte, dins l'encastre dei sieus trabalhs, Newton identifiquèt tres eqüacions diferenciali e prepausèt d'exemples e de tecnicas de resolucion. Rapidament, aqueli eqüacions ocupèron una plaça importanta en fisica. Per exemple, tre lo 1695, Jakob Bernoulli identifiquèt l'eqüacion que pòrta lo sieu nom dins l'encastre dei sieus trabalhs sus lo calcul diferencial. Dins lo corrent dau sègle XVIII, l'importància d'aqueli eqüacions foguèt confirmada per la descubèrta d'autri relacions diferenciali dins mai d'un domeni. Pauc a pauc, de matematicians comencèron d'estudis sistematics, cen que permetèt de descubrir e de resòlver d'eqüacions mai e mai complèxi. Uei, li eqüacions diferenciali pus simpli fan partida de l'ensenhament scientific segondari de mai d'un país.

Tipes principals d'eqüacions diferenciali

Li eqüacions diferenciali ordinari

Li eqüacions diferenciali ordinari (EDO) son d'eqüacions diferenciali qu'establisson d'egalitats entre de foncions que dependon d'una variabla unica. Es lo tipe pus simple e de la sieua forma generala per una foncion u es :

$u'(t)=K\,u(t)$

Existisse una teoria ben desvolopada dei eqüacions diferenciali ordinari que permet de determinar l'existéncia de solucions, de prepausar un metòde de resolucion e d'estudiar li solucions possibli. Aqueu darrier aspècte a conoissut de desvolopaments consequents car es important en sciéncia per seleccionar li solucions aguent una realitat fisica.

Li eqüacions diferenciali parciali

Li eqüacions diferenciali parciali (EDP) son d'eqüacions diferenciali qu'establisson d'egalitats entre de foncions que pòdon dependre de mai d'una variabla. Es un tipe pus complèxe que li eqüacions diferenciali ordinari. Per una foncion y dependenta dei variablas x, y, z e t, una eqüacion diferenciala parciala pòu pilhar la forma seguenta :

${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}={1 \over c^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}$

Aqueli eqüacions an sovent un nombre important de solucions car la multiplicitat dei variablas aumenta considerablament lo camp dei possibles. Li eqüacions diferenciali parciali son omnipresenti dins li sciéncias, especialament en dinamica dei estructuras, en mecanica dei fluides, dins li teorias de la gravitacion, dins li teorias de la mecanica quantica e en electromagnetisme. Son finda centrali en simulacion aeronautica, en sintèsi d'imatges e en meteorologia.

Li eqüacions diferenciali non lineari

Li eqüacions diferenciali non lineari son d'eqüacions diferenciali implicant de foncions non lineari. Un exemple d'aqueu tipe d'eqüacion es, dins lo cas d'una foncion u, la relacion seguenta entre lo carrat d'aquela foncion e la sieua derivada primiera :

${\frac {du}{dx}}=-u^{2}$

Aqueli eqüacions son presenti dins de domenis variats e lu metòdes de resolucion dependon generalament dau problema estudiat. Per rapòrt ai eqüacions diferenciali lineari, una particularitat d'aqueli eqüacions es l'impossibilitat de sobrepauar doi solucions per formar una solucion novèla. Aquò es una especificitat importanta car, per li eqüacions lineari, aquela proprietat de sobreposicion es centrala dins mai d'una resolucion d'eqüacions. Li eqüacions de Navier–Stokes en fisica e li eqüacions de Lotka–Volterra en biologia ne'n son d'exemples caracteristics d'eqüacions diferenciali non lineari.

Resolucion dei eqüacions diferenciali

Existéncia de solucions

L'existéncia de solucions a una eqüacion diferenciala non es evidenta. De teoremas existisson per determinar aquela existéncia coma lo teorema de Cauchy-Peano-Arzelà. Dins fòrça cas, en particular aquelu que regardan de problemas reaus, cau finda tenir còmpte dei valors conoissudi dau problema. D'efècte, quand un nombre fòrça important de solucions existisson, es necessari d'utilizar aquela valor per seleccionar la solucion que respècta li constrenchas fixadi per la realitat.

Quaucu cas simples

Eqüacions diferenciali ordinari dau promier gra

Li eqüacions diferenciali ordinari dau promier gra son de la forma :

$ay'+by=c$

S'estúdia primierament l'eqüacion lineara omogenea associada, es a dire $ay'+by=0$. Li sieui solucions son $y(x)=K\mathrm {e} ^{-A(x)}$, emb A una primitiva de a e K una constanta reala que que sigue. Per resòlver l'eqüacion iniciala, es necessari d'ajustar una solucion particulara d'aquela eqüacion a la solucion generala de l'eqüacion omogenea.

Eqüacions diferenciali ordinari dau segond gra

Li eqüacions diferenciali ordinari dau segond gra son de la forma :

$ay''+by'+cy=d$

Per resòlver una tala eqüacion, cau primierament l'eqüacion caracteristica de l'eqüacion diferenciala qu'es egala a : $a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0.~$Dins lo cas de coefficients reaus, lo determinant Δ d'aquela eqüacion permet de descriure l'existéncia e la forma dei solucions eventuali :

• si Δ > 0, l'eqüacion caracteristica a doi solucions reali λ₁ e λ₂. Li solucions de l'eqüacion diferenciala son alora de la forma $f(x)=A{\rm {e}}^{\lambda _{1}x}+B{\rm {e}}^{\lambda _{2}x}$ emb A e B doi reaus de determinar segon li condicions iniciali associadi a l'eqüacion.
• si Δ = 0, l'eqüacion caracteristica a una solucion unica λ. Li solucions de l'eqüacion diferenciala son alora de la forma $f(x)=(Ax+B){\rm {e}}^{\lambda x}$ emb A e B doi reaus de determinar segon li condicions iniciali associadi a l'eqüacion.
• si Δ < 0, l'eqüacion caracteristica a doi solucions complèxi u + iv et u - iv. Li solucions de l'eqüacion diferenciala son alora de la forma $f(x)={\rm {e}}^{ux}(A\cos(|v|x)+B\sin(|v|x))$ emb A e B doi reaus de determinar segon li condicions iniciali associadi a l'eqüacion.

Aplicacions

Li eqüacions diferenciali an d'aplicacions importanti en sciéncias e en engenharia. Son ensinda l'objècte d'estudis encara importants per li matematicas teoriqui per cercar l'existéncia de solucions e estudiar lu metòdes generals de resolucion. En parallèle, li matematicas aplicadi s'interèssan a la determinacion de solucions particulari a de problemas concrets. Mai d'una lei fondamentala en fisica e en quimia son escrichi sota la forma d'eqüacion diferenciala e, d'una maniera generala, lo calcul diferencial es fòrça present dins aqueli disciplinas. En biologia e en engenharia, la modelizacion de fenomènes reaus implica egalament l'utilizacion regulara d'eqüacions diferenciali.

Annèxas

Ligams intèrnes

• Algèbra.
• Calcul diferencial.
• Condicion iniciala.
• Derivada.
• Derivada parciala.
• Eqüacion.
• Eqüacion caracteristica.
• Eqüacion diferenciala ordinària.
• Eqüacion diferenciala parciala.
• Eqüacion integrala.
• Eqüacion integrodiferenciala.
• Foncion.
• Integrala.
• Matematicas.
• Relacion de recurréncia.
• Sistema d'eqüacions diferenciali.

Bibliografia

• W. E. Boyce e R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Nòva York, Wiley, 4^a edicion, 1986.
• Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Grenòble, Presses universitaires de Grenoble, 1996.