Geometria : Diferéncia entre lei versions
mCap resum de modificació |
Correccion ortografica |
||
| Linha 1 : | Linha 1 : | ||
[[Fichièr:Geometria_(Geometry).jpg|vinheta|Alegoria de la geometria.]] |
[[Fichièr:Geometria_(Geometry).jpg|vinheta|Alegoria de la geometria.]] |
||
La '''geometria''' (del [[latin]] ''geometrĭa'', venent de [[Grèc (lenga)|grèc]] γεωμετρία de ''γῆ'' ''gē'', ‘tèrra’, e μετρία metria, ‘mesura’) es una branca de las [[matematicas]] que s'ocupa de l'estudi de las proprietats de las figuras dins un plan o dins l'espaci, comprenent: de [[Punt (geometria)|punts]], [[Drecha (matematicas)|drechas]], [[Plan (geometria)|plans]], [[Politòp|politòps]] (que son las drechas |
La '''geometria''' (del [[latin]] ''geometrĭa'', venent de [[Grèc (lenga)|grèc]] γεωμετρία de ''γῆ'' ''gē'', ‘tèrra’, e μετρία metria, ‘mesura’) es una branca de las [[matematicas]] que s'ocupa de l'estudi de las proprietats de las figuras dins un plan o dins l'espaci, comprenent: de [[Punt (geometria)|punts]], [[Drecha (matematicas)|drechas]], [[Plan (geometria)|plans]], [[Politòp|politòps]] (que son las drechas parallèlas, perpendicularas, las corbas, las [[Superfícia (matematicas)|superfícias]], los poligòns, polièdres, eca.). |
||
Es la basa teorica de la geometria descriptiva o del dessenh tecnic. S'apièja sus d'instruments coma lo [[ |
Es la basa teorica de la geometria descriptiva o del dessenh tecnic. S'apièja sus d'instruments coma lo [[compàs]], lo [[teodolit]], lo [[pantograf]] o lo [[sistèma de posicionament global]] (subretot quand s'utiliza en combinason amb l'analisi matematica e subretot las [[Eqüacion diferenciala|eqüacions diferencialas]]). |
||
A per origina la |
A per origina la recèrcas de solucions als problèmas concrèts relatius a las mesuras. Son aplicacion practica en [[fisica aplicada]], [[mecanica]], [[arquitectura]], [[geografia]], [[cartografia]], [[astronomia]], [[navigacion]], [[topografia]], [[balistica]] etc. S'utiliza en la preparacion de dessenhs e tanben dins l'artesanat. |
||
== Istòria == |
== Istòria == |
||
[[Fichièr:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid's_Elements.jpg|drecha|vinheta|250x250px|Fragments dels ''Elements de Euclides'' dins Papirs d'Oxirrinco.]] |
[[Fichièr:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid's_Elements.jpg|drecha|vinheta|250x250px|Fragments dels ''Elements de Euclides'' dins Papirs d'Oxirrinco.]] |
||
La |
La geometria es una de las sciéncias mai ancianas. Es inicialament constituida d'un còs de coneissenças practicas en relacion amb las longors, los airals e los volums. La civilizacion babiloniana foguèt una de las primièras a incorporar dins sa cultura la geometria. L'invencion de la ròda dobriguèt lo camin a l'estudi de la circonferéncia e mai tard a la descobèrta del [[Pi|nombre π]] (pi); Desvolopèron tanben lo [[Sistema sexagesimal|sistèma sexagesimal]], prenent en compte que l'an compta 360 jorns, e mai adaptèt una formula per calcular l'airal del trapèzi rectangle.<ref name="Aportes de la civilización babilónica a la geometría Baldor">{{obratge|prenom=Baldor|nom=Gaaplex|título=Geometría plana y del espacio y trigonometría|data=2014|editor=publicaciones cultural|isbn=978-8435700788|luòc=México}}</ref> Dins l'Egipte antica èra fòrça desvolopada, amb los tèxtes de [[Erodòt]], [[Estrabon]] e [[Diodòr de Sicília]], [[Euclides]], Al sègle III AbC se realizèt la geometria en forma axiomatica e constructiva, tractament qu'establiguèt una nòrma a seguir pendent fòrça sègles: la [[geometria euclidiana]] descricha dins ''Los Elements''.<ref name="simonsfoundation.org">{{cita web|url=https://www.quantamagazine.org/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/|título=Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics <nowiki>|</nowiki> Quanta Magazine|fechaacceso=20 de febrero de 2017|apellido=Wolchover|nombre=Natalie|fecha={{fecha2|17|9|2013}}|sitioweb=[[Quanta Magazine]]}}</ref> |
||
L'estudi de l'astronomia e la [[cartografia]], volent determinar las posicions de las estelas e planetas dins l'esfèra celèsta, serviguèt coma importanta font de resolucion dels problèmas geometrics pendent mai d'un millenari. [[René Descartes|René Escartes]] desvolopèt simultanèament las [[ |
L'estudi de l'astronomia e la [[cartografia]], volent determinar las posicions de las estelas e planetas dins l'esfèra celèsta, serviguèt coma importanta font de resolucion dels problèmas geometrics pendent mai d'un millenari. [[René Descartes|René Escartes]] desvolopèt simultanèament las [[Eqüacion|eqüacions]] algebricas e la [[geometria analitica]], marcant una nòva estapa, per decruire las figuras geometricas, coma las corbas planas, poden venir de representacions analiticas, es a dire, amb de foncions e [[Eqüacion|eqüacions.]] La geometria s'enriquís amb l'estudi de l'estructura intrinsèca de las entitats geometricas qu'analisan [[Leonhard Euler|Euler]] e [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], que menèt a la creacion de la [[topologia]] e la [[geometria diferenciala]]. |
||
== Axiòmas, definicions e teorèmas == |
== Axiòmas, definicions e teorèmas == |
||
[[Fichièr:Archimedes_sphere_and_cylinder.svg|drecha|vinheta|152x152px|Un teorèma descobèrt e demostrat per [[Arquimèdes]]: una [[esfèra]] a 2⁄3 lo [[volum]] de son [[Cilindre (geometria)|cilindre]] circunscrit.]] |
[[Fichièr:Archimedes_sphere_and_cylinder.svg|drecha|vinheta|152x152px|Un teorèma descobèrt e demostrat per [[Arquimèdes]]: una [[esfèra]] a 2⁄3 lo [[volum]] de son [[Cilindre (geometria)|cilindre]] circunscrit.]] |
||
La geometria se prepausa d'anar mai alà de çò qu'esperat per l'intuicion. Atal, demanda un metòde rigorós, sens errors; per i aténher, istoricament, s'utilizèt los [[Sistèma axiomatic|sistèmas axiomatics]]. Lo primièr sistèma axiomatic foguèt establit per [[Euclides]], pasmens se pareis ara incomplet. [[David Hilbert]] prepausèt al començament del sègle XX un autre sistèma axiomatic, alara complèt. |
La geometria se prepausa d'anar mai alà de çò qu'esperat per l'intuicion. Atal, demanda un metòde rigorós, sens errors; per i aténher, istoricament, s'utilizèt los [[Sistèma axiomatic|sistèmas axiomatics]]. Lo primièr sistèma axiomatic foguèt establit per [[Euclides]], pasmens se pareis ara incomplet. [[David Hilbert]] prepausèt al començament del sègle XX un autre sistèma axiomatic, alara complèt. |
||
Coma en tot sistèma formal, las definicions, pretendon pas solament descriure las proprietats dels objèctes, sas siás relacions. Quand s'axiomaliza quicòm, los objèctes venon d'entitats |
Coma en tot sistèma formal, las definicions, pretendon pas solament descriure las proprietats dels objèctes, sas siás relacions. Quand s'axiomaliza quicòm, los objèctes venon d'entitats abstrachas idealas e sas relacions se nomenan modèls. |
||
Aquò significa que los mots "punt", "drecha" e "plan" pèrdon tot sens material. Quin ensemble d'objècte que siá que verifica las definicions e los axiòmas complirà tanben totes los teorèmas de la geometria en afar, e sas relacions |
Aquò significa que los mots "punt", "drecha" e "plan" pèrdon tot sens material. Quin ensemble d'objècte que siá que verifica las definicions e los axiòmas complirà tanben totes los teorèmas de la geometria en afar, e sas relacions seràn virtualament identicas al aquel del modèl ''tradicional''. |
||
=== Axiòmas === |
=== Axiòmas === |
||
[[Fichièr:Triangle_sphérique.svg|vinheta|120x120px|La [[Geometría esférica|geometria esferica]] es un exemple de geometria non euclidiana.]] |
[[Fichièr:Triangle_sphérique.svg|vinheta|120x120px|La [[Geometría esférica|geometria esferica]] es un exemple de geometria non euclidiana.]] |
||
En [[geometria euclidiana]], los [[Axiòma|axiòmas]] e [[Postulat|postulats]] son de proposicions que ligan de concèptes, definits segon lo punt, la drecha e lo plan. Euclides prepausèt cinc postulats e foguèt lo cinquen (lo postulat del |
En [[geometria euclidiana]], los [[Axiòma|axiòmas]] e [[Postulat|postulats]] son de proposicions que ligan de concèptes, definits segon lo punt, la drecha e lo plan. Euclides prepausèt cinc postulats e foguèt lo cinquen (lo postulat del parallelisme) que de sègles après —quand fòrça geomètras lo questionèron en l'analizant— donèt de geometria novèlas: l'[[Geometria elliptica|elliptica]] (geometria de [[Bernhard Riemann|Riemann]]) o l'[[Geometria iperbolica|iperbolica]] de [[Nikolái Lobachevski]]. |
||
En [[geometria analitica]], los axiòmas se definisson segon las [[ |
En [[geometria analitica]], los axiòmas se definisson segon las [[Eqüacion|eqüacions]] de punts, se basant sus l'analisi matematica e l'[[Algèbra|algèbra.]] Pren un nòu sens de parlar dels punts, drechas o plans. F(x) pòt definir quina foncion que siá, drecha, circonferéncia, plan, etc. |
||
== Topologia e geometria == |
== Topologia e geometria == |
||
| Linha 30 : | Linha 30 : | ||
== Tipes de geometria == |
== Tipes de geometria == |
||
Dempuèi los ancians grècs, se faguèt fòrça contribucions a la |
Dempuèi los ancians grècs, se faguèt fòrça contribucions a la geometria, subretot pendent lo sègle XVIII. Alara proliferèron fòrça sosbrancas de la geometria amb d'apròche plan diferent. Per classificar los diferents desvolopaments de la Geometria modèrna se pòdon prene diferents torns: |
||
=== Geometrias segon lo tipe d'espaci === |
=== Geometrias segon lo tipe d'espaci === |
||
Los grècs ancians utilizavan un unic tipe de geometria, a saber, la geometria |
Los grècs ancians utilizavan un unic tipe de geometria, a saber, la geometria euclidiana, abilament codificada dins los ''Elements de Euclides'' per una escòla alexandrina dirigida per [[Euclides|Euclides.]] Aquel tipe de geometria se basa sus un estil formal de deduccions sus cinc postulats basics. Los quatre primièrs foguèron largament acceptats e Euclides los utilizèt fòrça, mas, lo cinquen postulat foguèt mens utilizat e mai tard diferents autors ensagèron de lo demostrar mejans los autres, l'impossibilitat de la dicha deduccion menèt a constatar qu'amb la geometria euclidiana existissián d'autres tipes de geometrias que lo cinquen postulat de Euclides ne fasiá pas partit. Seguent las modificacions introduchas dins aquel cinquen postulat ne sortiguèt de familhas diferentas de geometrias o d'espacis geometrics diferents entre eles: |
||
* La [[geometria absoluda]], qu'es l'ensemble dels |
* La [[geometria absoluda]], qu'es l'ensemble dels faches geometrics derivables sonque a partir dels primièrs quatre postulats d'Euclides. |
||
* La [[geometria euclidiana]], qu'es la |
* La [[geometria euclidiana]], qu'es la geometria particulara que s'obten en acceptant coma axiòma lo cinquen postulat. Los grècs consideravan doas variantas de geometria euclidiana: |
||
** [[Geometria plana]] |
** [[Geometria plana]] |
||
** [[Geometria de l'espaci]] |
** [[Geometria de l'espaci]] |
||
* La [[geometria classica]] es compilacion dels resultats de las geometrias euclidianas. |
* La [[geometria classica]] es compilacion dels resultats de las geometrias euclidianas. |
||
A partir del sègle XIX se'n venguèt a la concluson que podián se definir de [[geometrias non euclidianas]] coma: |
A partir del sègle XIX se'n venguèt a la concluson que podián se definir de [[geometrias non euclidianas]] coma: |
||
* La [[geometria |
* La [[geometria elliptica]] |
||
* La [[geometria esferica]] |
* La [[geometria esferica]] |
||
* La [[geometria finida]] |
* La [[geometria finida]] |
||
| Linha 51 : | Linha 51 : | ||
* [[Geometria confòrma]] |
* [[Geometria confòrma]] |
||
* [[Geometria convèxa]] |
* [[Geometria convèxa]] |
||
* [[Geometria |
* [[Geometria discreta]] |
||
* [[Geometria d'incidéncia]] |
* [[Geometria d'incidéncia]] |
||
* [[Geometria ordenada]] |
* [[Geometria ordenada]] |
||
| Linha 57 : | Linha 57 : | ||
=== Geometria segon lo tipe de representacion === |
=== Geometria segon lo tipe de representacion === |
||
Pasmens se Euclides a la basa se limitèt a de concèptes geometrics representables mejançant de figuras (de punts, de linhas, de cercles, etc.), lo desvolopament d'autras brancas de las matematicas desconnectadas d'en primièr de la quita geometria, anava poder aplicar los |
Pasmens se Euclides a la basa se limitèt a de concèptes geometrics representables mejançant de figuras (de punts, de linhas, de cercles, etc.), lo desvolopament d'autras brancas de las matematicas desconnectadas d'en primièr de la quita geometria, anava poder aplicar los instruments d'autras brancas a de problèmas pas que geometrics nasquèron aital: |
||
* La [[geometria algebrica]] |
* La [[geometria algebrica]] |
||
* La [[geometria analitica]] |
* La [[geometria analitica]] |
||
* La [[geometria descriptiva]] |
* La [[geometria descriptiva]] |
||
* La [[topologia geometrica]] |
* La [[topologia geometrica]] |
||
* La [[geometria diferenciala]] qu' |
* La [[geometria diferenciala]] qu'englòba las brancas coma: |
||
** [[Geometria diferenciala |
** [[Geometria diferenciala discreta]] |
||
** La [[geometria de la corbas e superfícias]] |
** La [[geometria de la corbas e superfícias]] |
||
*** La [[Geometria diferenciala de las corbas]] |
*** La [[Geometria diferenciala de las corbas]] |
||
*** La [[Geometria diferenciala de la superfícias]] |
*** La [[Geometria diferenciala de la superfícias]] |
||
** La [[Geometria diferenciala de las |
** La [[Geometria diferenciala de las ipersuperfícias]] |
||
** [[Geometria diferenciala de las varietats]] |
** [[Geometria diferenciala de las varietats]] |
||
** La [[geometria de Riemann]] |
** La [[geometria de Riemann]] |
||
| Linha 73 : | Linha 73 : | ||
* [[Geometria sintetica]] |
* [[Geometria sintetica]] |
||
=== |
=== D'aplicacions geometricas === |
||
En mai de las quitas sosbrancas sorgiguèt fòrça aplicacions practicas de la geometria coma: |
En mai de las quitas sosbrancas sorgiguèt fòrça aplicacions practicas de la geometria coma: |
||
** [[Geometria algoritmica]] |
** [[Geometria algoritmica]] |
||
** [[ |
** [[Geometria de construccion de solids]] |
||
** [[Geometria moleculara]] |
** [[Geometria moleculara]] |
||
Version actuala en data del 30 març de 2017 a 13.05
.jpg)
La geometria (del latin geometrĭa, venent de grèc γεωμετρία de γῆ gē, ‘tèrra’, e μετρία metria, ‘mesura’) es una branca de las matematicas que s'ocupa de l'estudi de las proprietats de las figuras dins un plan o dins l'espaci, comprenent: de punts, drechas, plans, politòps (que son las drechas parallèlas, perpendicularas, las corbas, las superfícias, los poligòns, polièdres, eca.).
Es la basa teorica de la geometria descriptiva o del dessenh tecnic. S'apièja sus d'instruments coma lo compàs, lo teodolit, lo pantograf o lo sistèma de posicionament global (subretot quand s'utiliza en combinason amb l'analisi matematica e subretot las eqüacions diferencialas).
A per origina la recèrcas de solucions als problèmas concrèts relatius a las mesuras. Son aplicacion practica en fisica aplicada, mecanica, arquitectura, geografia, cartografia, astronomia, navigacion, topografia, balistica etc. S'utiliza en la preparacion de dessenhs e tanben dins l'artesanat.
Istòria[modificar | Modificar lo còdi]
La geometria es una de las sciéncias mai ancianas. Es inicialament constituida d'un còs de coneissenças practicas en relacion amb las longors, los airals e los volums. La civilizacion babiloniana foguèt una de las primièras a incorporar dins sa cultura la geometria. L'invencion de la ròda dobriguèt lo camin a l'estudi de la circonferéncia e mai tard a la descobèrta del nombre π (pi); Desvolopèron tanben lo sistèma sexagesimal, prenent en compte que l'an compta 360 jorns, e mai adaptèt una formula per calcular l'airal del trapèzi rectangle.[1] Dins l'Egipte antica èra fòrça desvolopada, amb los tèxtes de Erodòt, Estrabon e Diodòr de Sicília, Euclides, Al sègle III AbC se realizèt la geometria en forma axiomatica e constructiva, tractament qu'establiguèt una nòrma a seguir pendent fòrça sègles: la geometria euclidiana descricha dins Los Elements.[2]
L'estudi de l'astronomia e la cartografia, volent determinar las posicions de las estelas e planetas dins l'esfèra celèsta, serviguèt coma importanta font de resolucion dels problèmas geometrics pendent mai d'un millenari. René Escartes desvolopèt simultanèament las eqüacions algebricas e la geometria analitica, marcant una nòva estapa, per decruire las figuras geometricas, coma las corbas planas, poden venir de representacions analiticas, es a dire, amb de foncions e eqüacions. La geometria s'enriquís amb l'estudi de l'estructura intrinsèca de las entitats geometricas qu'analisan Euler e Gauss, que menèt a la creacion de la topologia e la geometria diferenciala.
Axiòmas, definicions e teorèmas[modificar | Modificar lo còdi]
La geometria se prepausa d'anar mai alà de çò qu'esperat per l'intuicion. Atal, demanda un metòde rigorós, sens errors; per i aténher, istoricament, s'utilizèt los sistèmas axiomatics. Lo primièr sistèma axiomatic foguèt establit per Euclides, pasmens se pareis ara incomplet. David Hilbert prepausèt al començament del sègle XX un autre sistèma axiomatic, alara complèt. Coma en tot sistèma formal, las definicions, pretendon pas solament descriure las proprietats dels objèctes, sas siás relacions. Quand s'axiomaliza quicòm, los objèctes venon d'entitats abstrachas idealas e sas relacions se nomenan modèls.
Aquò significa que los mots "punt", "drecha" e "plan" pèrdon tot sens material. Quin ensemble d'objècte que siá que verifica las definicions e los axiòmas complirà tanben totes los teorèmas de la geometria en afar, e sas relacions seràn virtualament identicas al aquel del modèl tradicional.
Axiòmas[modificar | Modificar lo còdi]
En geometria euclidiana, los axiòmas e postulats son de proposicions que ligan de concèptes, definits segon lo punt, la drecha e lo plan. Euclides prepausèt cinc postulats e foguèt lo cinquen (lo postulat del parallelisme) que de sègles après —quand fòrça geomètras lo questionèron en l'analizant— donèt de geometria novèlas: l'elliptica (geometria de Riemann) o l'iperbolica de Nikolái Lobachevski.
En geometria analitica, los axiòmas se definisson segon las eqüacions de punts, se basant sus l'analisi matematica e l'algèbra. Pren un nòu sens de parlar dels punts, drechas o plans. F(x) pòt definir quina foncion que siá, drecha, circonferéncia, plan, etc.
Topologia e geometria[modificar | Modificar lo còdi]
Lo camp de la topologia, que se desvolopèt fòrça al sègle XX, es dins un sens tecnic un tipe de geometria transformacionala, que las transformacions que gardan las proprietats de las figuras son los omeomorfismes (per exemple, es diferent de la geometria metrica, que las transformacions altèran pas las proprietats de las figuras son las isometricas). Aquò es sovent exprimit segon lo dich: "la topologia es la geometria de la pagina plastica".
Tipes de geometria[modificar | Modificar lo còdi]
Dempuèi los ancians grècs, se faguèt fòrça contribucions a la geometria, subretot pendent lo sègle XVIII. Alara proliferèron fòrça sosbrancas de la geometria amb d'apròche plan diferent. Per classificar los diferents desvolopaments de la Geometria modèrna se pòdon prene diferents torns:
Geometrias segon lo tipe d'espaci[modificar | Modificar lo còdi]
Los grècs ancians utilizavan un unic tipe de geometria, a saber, la geometria euclidiana, abilament codificada dins los Elements de Euclides per una escòla alexandrina dirigida per Euclides. Aquel tipe de geometria se basa sus un estil formal de deduccions sus cinc postulats basics. Los quatre primièrs foguèron largament acceptats e Euclides los utilizèt fòrça, mas, lo cinquen postulat foguèt mens utilizat e mai tard diferents autors ensagèron de lo demostrar mejans los autres, l'impossibilitat de la dicha deduccion menèt a constatar qu'amb la geometria euclidiana existissián d'autres tipes de geometrias que lo cinquen postulat de Euclides ne fasiá pas partit. Seguent las modificacions introduchas dins aquel cinquen postulat ne sortiguèt de familhas diferentas de geometrias o d'espacis geometrics diferents entre eles:
- La geometria absoluda, qu'es l'ensemble dels faches geometrics derivables sonque a partir dels primièrs quatre postulats d'Euclides.
- La geometria euclidiana, qu'es la geometria particulara que s'obten en acceptant coma axiòma lo cinquen postulat. Los grècs consideravan doas variantas de geometria euclidiana:
- La geometria classica es compilacion dels resultats de las geometrias euclidianas.
A partir del sègle XIX se'n venguèt a la concluson que podián se definir de geometrias non euclidianas coma:
- La geometria elliptica
- La geometria esferica
- La geometria finida
- La geometria iperbolica
- La geometria riemanniana
Geometria associadas a transformacionalas[modificar | Modificar lo còdi]
Al sègle XIX se constatèt que d'autra forma d'apròche dels concèptes geometrics èra d'estudiar l'invariança d'unas proprietats jos diferents tipes de transformacions matematicas, se classifiquèron alara diferentas proprietats geometricas dins de grops e se prepausèron de sosdisciplinas volent veire quinas èran las proprietats invariantas jos de tipes particulars de transformacions, apareguèron aital los seguents tipes d'apròches geometrics:
- Geometria afina
- Geometria confòrma
- Geometria convèxa
- Geometria discreta
- Geometria d'incidéncia
- Geometria ordenada
- Geometria projectiva
Geometria segon lo tipe de representacion[modificar | Modificar lo còdi]
Pasmens se Euclides a la basa se limitèt a de concèptes geometrics representables mejançant de figuras (de punts, de linhas, de cercles, etc.), lo desvolopament d'autras brancas de las matematicas desconnectadas d'en primièr de la quita geometria, anava poder aplicar los instruments d'autras brancas a de problèmas pas que geometrics nasquèron aital:
- La geometria algebrica
- La geometria analitica
- La geometria descriptiva
- La topologia geometrica
- La geometria diferenciala qu'englòba las brancas coma:
- La Geometria fractala
- Geometria sintetica
D'aplicacions geometricas[modificar | Modificar lo còdi]
En mai de las quitas sosbrancas sorgiguèt fòrça aplicacions practicas de la geometria coma:
Vejatz tanben[modificar | Modificar lo còdi]
Referéncias[modificar | Modificar lo còdi]
- ↑ {{{títol}}}. México: publicaciones cultural, 2014. ISBN 978-8435700788.
- ↑ Error en títol o url.
Bibliografia[modificar | Modificar lo còdi]
- Boyer, C. B. (1991) [1989]. {{{títol}}}.
- Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Serias, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
- Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern Geometry, 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-70-5.
- Leonard Mlodinow, Euclid'S Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.