Nombre complèxe

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar
exemple de tèxte

En matematicas, un nombre complèxe es un nombre format d'una partida reala amb una partida imaginària: s'escriu a + bi (o a + ib), onte a, b son de nombres reaus, e i es l'unitat imaginària, tala que i 2 = −1.

Se representa geometricament cada nombre complèxe a + bi per lo ponch dau plan euclidian qu'a per coordenadas a e b.

Se pòt addicionar, multiplicar, sostraire e dividir lei nombres complèxes: l'ensemble \C d'aquelei nombres es un còrs commutatiu que contèn lo còrs \R dei nombres reaus; se ditz que n'es una extension.

Lei nombres complèxes foguèron introduchs per lei matematicians italians de la Renaissença, que cercavan d'exprimir lei racinas deis eqüacions algebricas dau tresen gra. Una proprietat remarcabla, lo teorèma fondamentau de l'algèbra (sovent atribuit a Gauss), afirma que tota eqüacion algebrica de gra diferent de 0 amb coeficients reaus o complèxes tèn aumens una racina complèxa (eventualament reala).

Lei nombres complèxes s'utilizan dins totei lei domenis dei matematicas, e mai en fisica (particularament en electronica e electrotecnica e en mecanica qüantica).

Remarca: dins aquest article, lei letras a, b, c, d, x, y designaràn de nombres reaus (franc de mencion contrària).

Definicions e proprietats elementàrias[modificar | modificar la font]

Notacions[modificar | modificar la font]

Un nombre complèxe z s'escriu a + bi, onte a, b son de nombres reaus, e i es l'unitat imaginària, tala que i 2 = −1.

Lei nombres reaus a, b son sonats respectivament partida reala, partida imaginària dau nombre complèxe z[1]. Veirem infra que l'escritura dau nombre complèxe z sota la forma a + bi es unica; doncas la partida reala e la partida imaginària de z son unicas. S'utiliza lei notacions:

a = Re(z) o a = ℜ(z), b = Im(z) o b = ℑ(z).

L'ensemble dei nombres complèxes se nòta \C o C; es una extension de l'ensemble \R dei nombres reaus: s'identifica cada nombre complèxe de partida imaginària nulla amb sa partida reala, autrament dich, s'identifica cada nombre complèxe de la forma a + 0i amb lo nombre reau a.

Lei nombres complèxes de partida reala nulla son dichs imaginaris purs; cada nombre imaginari pur 0 + bi se nòta simplament bi.

Remarca: en electronica e electrotecnica, se nòta generalament j l'unitat imaginària, que dins aqueu contèxte, la letra i designa l'intensitat electrica.

Egalitat[modificar | modificar la font]

L'egalitat entre dos nombres complèxes equivau a doas egalitats entre nombres reaus. Per definicion, dos nombres complèxes a + bi, c + di son egaus, çò que s'escriu a + bi = c + di, se e solament se a = c e b = d.

En particular, lo solet nombre complèxe qu'es au còp reau e imaginari pur es 0, car:

a = bi o a + 0i = 0 + bi equivau a a = 0 e b = 0

Addicion e multiplicacion[modificar | modificar la font]

Sián dos nombres complèxes z = a + bi e w = c + di. Se definís ansin la soma e lo produch de z, w:

  • Addicion: z + w = (a + c) + (b + d)i
  • Multiplicacion:
z w = ac + bci + adi + bdi 2 = (acbd) + (ad + bc)i
(estent que per definicion de l'unitat imaginària, i 2 = −1)

Aquelei doas operacions subre lei nombres complèxes an lei meteissei proprietats algebricas (associativitat, commutativitat, distributivitat de la multiplicacion a respècte de l'addicion) que leis operacions correspondentas subre lei nombres reaus.

Ansin, provesit d'aqueleis operacions, l'ensemble \C es un anèu commutatiu. L'element neutre de l'addicion es 0 = 0 + 0i. L'element neutre de la multiplicacion es 1 = 1 + 0i.

Conjugason[modificar | modificar la font]

Per cada nombre complèxe

z = a + b i \,,

se definís son conjugat, notat \overline{z}:

\overline{z} = a - b i

(z e \overline{z} an la meteissa partida reala, e de partidas imaginàrias opausadas).

Alora:

\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}\text{ e }\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}

Se'n dedutz que per un nombre complèxe z:

  • z es reau se e solament se \overline{z} = z
  • z es imaginari pur se e solament se \overline{z} = -z

Son de bòn verificar lei proprietats seguentas. Se z, w son de nombres complèxes:

  • \overline{\overline{z}} = z
  • \overline{z + w} = \overline{z}  + \overline{w}
  • \overline{z w} = \overline{z}\;  \overline{w}

Aiçò s'exprimís ansin: l'aplicacion \C \to \C, z \mapsto \overline{z} (dicha conjugason) es un automorfisme involutiu de l'anèu \C; leis elements invariants de l'automorfisme son lei nombres reaus, lei solets que son egaus a son conjugat.

Modul[modificar | modificar la font]

Lo produch d'un nombre complèxe z = a + bi e de son conjugat es un reau positiu:

z\; \overline{z} = (a + b i)(a - b i) = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2

Se sòna modul de z lo nombre reau positiu seguent:

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

La relacion provada çai subre s'escriu alora:

z\; \overline{z} = |z|^2

Se remarca que:

|\overline{z}| = |z|\text{, estent que }\sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
|\operatorname{Re}(z)| \leq |z|\text{ e }|\operatorname{Im}(z)| \leq |z|\text{, car }a^2 \leq a^2 + b^2\text{ e }b^2 \leq a^2 + b^2

Se nòta lo modul d'un nombre complèxe coma la valor absoluda d'un nombre reau; divèrsei rasons pòrtan a faire aquò. La premiera es que se z = a + 0i es reau, a per modul:

|z| = \sqrt{a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2},

qu'es la valor absoluda de z = a coma nombre reau.

De mai, lo modul a de proprietats comunas amb la valor absoluda dei reaus: se z, w son de nombres complèxes,

  • |z| \geq 0
  • |z| =0\text{ se e solament se } z = 0
  • |z \, w| = |z| \cdot |w|
  • |z + w| \leq |z| + |w| (inegalitat triangulara)


Distància definida per mejan dau modul[modificar | modificar la font]

Se definís la distància de dos nombres complèxes z, w quins que sián coma lo nombre reau positiu:

d(z, w) = |z - w|\,

L'ensemble \C es ansin provesit d'una estructura d'espaci metric.

Invèrs[modificar | modificar la font]

Se z = a + bi es un nombre complèxe non nul (valent a dire a ≠ 0 o b ≠ 0), alora

z \overline{z} = |z|^2 \neq 0.

Aiçò se pòt escriure: z \left(\frac{1}{|z|^2}\, \overline{z}\right) = 1 e pròva que tot nombre complèxe non nul a un invèrs (per la multiplicacion):

z^{-1}= \frac{1}{|z|^2}\, \overline{z}

En conclusion, l'ensemble \C^* = \C \setminus \{0\} dei nombres complèxes non nuls es un grop multiplicatiu (commutatiu).

Estructura de còrs commutatiu[modificar | modificar la font]

L'ensemble \C dei nombres complèxes es un anèu commutatiu onte cada element non nul es invertible, autrament dich, es un còrs commutatiu.

Division[modificar | modificar la font]

Se pòt finalament definir lo quocient de dos nombres complèxes. Se z = a + bi e w = c + di son dos nombres complèxes e se w ≠ 0, se pausa:

\frac{z}{w} = z\, w^{-1}

En particular:

\frac{1}{w} = w^{-1} = \frac{1}{|w|^2}\, \overline{w} = \frac{\overline{w}}{|w|^2}.

En practica, s'escriu:

\frac{z}{w}  = \frac{z\, \overline{w}}{w\, \overline{w}} = \frac{z\, \overline{w}}{|w|^2} = \frac{(a + b i)(c - d i)}{c^2 + d^2} = \left(\frac{a c + bd}{c^2 + d^2}\right) + \left(\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\right) i.

Grop dei nombres complèxes de modul unitat[modificar | modificar la font]

Se nòta \mathbb{U} l'ensemble dei nombres complèxes z taus que |z | = 1; per exemple \frac{3+4i}{5} \in \mathbb{U}. L'apartenéncia d'un nombre complèxe z a \mathbb{U} equivau a:

|z|^2 = 1\text{ o }z\, \overline{z} = 1\text{ o }z^{-1} = \overline{z}.

Leis elements de \mathbb{U} se caracterizan entre leis nombres complèxes non nuls per l'egalitat

z^{-1} = \overline{z}.

L'ensemble \mathbb{U} es un sosgrop dau grop multiplicatiu \C^*; ne resulta que \mathbb{U} es un grop multiplicatiu.

Representacion geometrica[modificar | modificar la font]

Plan complèxe[modificar | modificar la font]

Representacion geometrica dei nombres complèxes

Se pòt representar cada nombre complèxe z = a + bi per lo ponch dau plan euclidian qu'a per coordenadas (a, b) dins una basa ortonormala chausida un còp per totei[2]. Aqueu plan (unic, franc d'isomorfisme), es dich plan complèxe.

En particular:

  • Lei nombres reaus a = a + 0i son representats per lei ponchs de coordenadas (a, 0), valent a dire aquelei qu'apartènon a l'axe deis abscissas, que dins aquest contèxte se li ditz axe reau dau plan complèxe.
  • Lei nombres imaginaris purs bi = 0 + bi son representats per lei ponchs de coordenadas (0, b), valent a dire aquelei qu'apartènon a l'axe deis ordenadas, que dins aquest contèxte se li ditz axe imaginari dau plan complèxe.

Escritura exponenciala dei nombres complèxes de modul unitat[modificar | modificar la font]

Siá u = a + b i \in \mathbb{U}; alora a^2 + b^2 = 1.

Interpretacion geometrica: la relacion a^2 + b^2 = 1 significa que lo ponch de coordenadas (a, b) dau plan complèxe apartèn au cercle centrat a l'origina e de rai unitat (lo « cercle trigonometric »); existís un reau \varphi tau que:

a = \cos \varphi\text{ e }b = \sin \varphi.

Finalament, per tot nombre complèxe u tau que |u | = 1, existís \varphi \in \R tau que

u = \cos \varphi + i\, \sin \varphi = \mathrm{e}^{i \varphi}\,

segon la formula d'Euler.

Lo reau \varphi es jamai unic; se \varphi_0 es un reau (particular) tau que

\mathrm{e}^{i \varphi_0} = u\text{, valent a dire }\cos \varphi_0 = a\text{ e }\sin \varphi_0 = b,

alora lei reaus \varphi taus que \mathrm{e}^{i \varphi} = u, valent a dire

\cos \varphi = a = \cos \varphi_0\text{ e }\sin \varphi = b = \sin \varphi_0

son aquelei que s'escrivon \varphi = \varphi_0 + 2 k \pi\text{, per un entier }k \in \Z.

Escritura polara e argument[modificar | modificar la font]

Modul e argument d'un nombre complèxe non nul

Se z es un nombre complèxe non nul, son modul r = |z | es un nombre reau (positiu) non nul. Pausem:

u = \frac{1}{r} z

Lo nombre complèxe u es un element de l'ensemble \mathbb{U} car per definicion de r:

|u| = \frac{1}{r} |z| = 1

Se pòt escriure

u = \mathrm{e}^{i \varphi}\text{, onte }\varphi \in \R\text{, puei }z = r u = r \mathrm{e}^{i \varphi}\,.

L'escritura:

z =  r \mathrm{e}^{i \varphi}\text{, onte }r = |z| > 0\text{ e }\varphi \in \R

es sonada forma polara dau nombre complèxe (non nul) z. Se ditz que cada nombre reau \varphi tau que

z =  |z|  \mathrm{e}^{i \varphi}

es un argument de z (s'es vist çai subre que \varphi es jamai unic).

Operacions en forma polara[modificar | modificar la font]

Sián tres nombres complèxes non nuls exprimits en forma polara:

z_1 = r_1\, \mathrm{e}^{i \varphi_1}\text{, }z_2 = r_2\, \mathrm{e}^{i \varphi_2}\text{ e }z = r\, \mathrm{e}^{i \varphi}\text{, onte }r_1 > 0\text{, }r_2 > 0\text{ e }r > 0

Multiplicacion[modificar | modificar la font]

D'après la proprietat classica de l'exponenciala:

z_1 z_2 = r_1 r_2\, \mathrm{e}^{i \varphi_1} \, \mathrm{e}^{i \varphi_2} = r_1 r_2\, \mathrm{e}^{i (\varphi_1 + \varphi_2)}

Lo produch z_1\, z_2 a per modul r_1\, r_2 (proprietat ja enonciada) e per argument \varphi_1 + \varphi_2.

Division[modificar | modificar la font]

Parierament:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\, \mathrm{e}^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}

En particular:

z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{r}\, \mathrm{e}^{-i \varphi}

Poténcias[modificar | modificar la font]

z^n = r^n\, \mathrm{e}^{i n \varphi}\text{ per tot }n \in \Z

Conjugat[modificar | modificar la font]

Representation d'un nombre complèxe e de son conjugat dins lo plan complèxe.
\overline{z} = r\, \mathrm{e}^{-i \varphi}

Un nombre complèxe e son conjugat an lo meteis modul, e d'arguments opausats. Aiçò exprimís en forma polara que son representats per de ponchs dau plan complèxe simetrics a respècte de l'axe reau.

Construccions dau còrs dei nombres complèxes[modificar | modificar la font]

Segon la concepcion modèrna, axiomatica, dei matematicas, l'introduccion d'un objècte matematic novèu necessita sa construccion segon lei règlas de la teoria deis ensembles, a partir d'objèctes preexistents. Es aquela construccion que legitima l'existéncia matematica de la nocion novèla.

Se balha çai sota doas construccions dau còrs dei nombres complèxes. Menan en d'objèctes diferents, mai isomòrfs, valent a dire d'estructura identica[3], tala que:

  • existís un soscòrs \widehat{\R} de \C isomòrf au còrs \R dei nombres reaus; se pòt alora identificar[4] \widehat{\R} amb \R, e considerar aquest darrier coma un soscòrs dau còrs \C novament construch
  • existís dos elements de \C qu'an per carrat −1; se se nòta i un dei dos, l'autre es −i
  • l'ensemble \C a una estructura d'espaci vectoriau reau de dimension 2 e la familha (1, i) n'es una basa, dicha basa canonica. Informalament, aiçò significa que cada nombre complèxe es definit per dos nombres reaus

Construccion usuala[modificar | modificar la font]

Segon aquela construccion, deguda au matematician e fisician irlandés Hamilton, \C = \R^2 es l'ensemble dei pareus (x, y) de nombres reaus. Se provesís l'ensemble \C de son estructura canonica d'espaci vectoriau reau de dimension 2.

Autrament dich, se z = (a, b) \in \C, w = (c, d) \in \C e \lambda \in \R, se definís:

z + w = (a + c, b + d) \in \C
\lambda z = (\lambda a, \lambda b) \in \C

En mai de l'addicion, se definís ansin una multiplicacion subre l'ensemble \C:

z  w = (ac - bd, ad + bc) \in \C

Es de bòn verificar que l'ensemble \C, provesit de l'addicion e de la multiplicacion ansin definidas, es un còrs commutatiu. L'element neutre de l'addicion es (0, 0) e l'element neutre de la multiplicacion es (1, 0), car:

z + (0, 0) = (a, b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) = z\,
z \cdot (1, 0) = (a, b) \cdot (1,0) = (a \cdot 1 - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1) = (a, b) = z

Ara, se nòta provisoriament \widehat{\R} = \R \times \{0\} = \{(a, 0) | a \in \R\}.

  • L'element unitat (1, 0) de \C apartèn a \widehat{\R}.
  • Segon lei definicions precedentas, se z = (a, 0) \in \widehat{\R} e w = (c, 0) \in \widehat{\R}:
z + w = (a + c, 0) \in \widehat{\R}
z  w = (ac - 0^2, a \cdot 0 + 0 \cdot c) = (ac, 0) \in \widehat{\R}

Aiçò pròva que \widehat{\R} es un soscòrs de \C e que l'aplicacion \psi : \R \to \widehat{\R}, a \mapsto (a, 0) es un isomorfisme de còrs.

Coma s'es ja dich, s'identificarà cada nombre reau a amb (a, 0): desenant, s'escriurà (a, 0) = a; en particular, (1, 0) = 1.
Se se nòta i = (0, 1), tot element z = (a, b) de \C s'escriu:

z = (a, 0) + (0, b) = a\, (1, 0) + b\, (0, 1) = a\, 1 + b\, i\,
(expression de z dins la basa canonica (1, i) de \C)

Se remarca enfin que:

i^2 = (0, 1) (0, 1) = (0^2 - 1^2, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1

e qu'amb aquelei notacions, lei definicions inicialas deis operacions se reescrivon ansin:

z + w = (a + c) + (b + d) i\,
\lambda z = \lambda a + \lambda b i\,
z w = (ac - bd) + (ad + bc) i\,

Construccion matriciala[modificar | modificar la font]

Segon una autra construccion, se definís \C coma l'ensemble dei matritz realas

z =
\begin{bmatrix}
  a &   -b  \\
  b & \;\; a  
\end{bmatrix}

(matritz en basa ortonormala dei similituds dirèctas d'un plan euclidian).

L'element generic z de \C es aqueu que s'escriu:

z = \begin{bmatrix}
  a & \;\;   0  \\
  0 & \;\; a  
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
  0 &   -b  \\
  b &\;\;  0  
\end{bmatrix}
 = a I + b J\text{, onte }
I = \begin{bmatrix}
  1 &\;\;   0  \\
  0 &\;\;  1  
\end{bmatrix}\text{ e }
J =
\begin{bmatrix}
  0 &   -1  \\
  1 & \;\; 0  
\end{bmatrix}

Lei matritz I (matritz unitat o identitat) e J (matritz de la rotacion d'angle drech dins lo sens trigonometric dirècte) son dos elements de \C (obtenguts respectivament amb a = 1 e b = 0, a = 0 e b = 1).

Aiçò pròva que \C es un espaci vectoriau reau de dimension 2, e la familha (I, J) n'es una basa (dicha « canonica »).

De mai, J^2 = -I: l'interpretacion d'aquela relacion es que doas rotacions d'angle drech dins lo sens dirècte equivalon a una rotacion d'angle plat, siá una simetria a respècte de l'origina dau plan complèxe.

Ansin, se z = a I + b J e w = c I + d J son dos elements de \C, alora:

z + w = (a + c) I + (b + d) J\,,
z  w = ac\, I^2 + bc\, I \cdot J + ad\, J \cdot I + bd\, J^2 = (ac - bd) I + (ad + bc) J

son dos elements de \C.

Per consequent, l'addicion e la multiplicacion son doas lèis de composicion intèrna dins \C. Se verifica aisadament que \C, provesit d'aqueleis operacions, es un còrs commutatiu.

Enfin, se se nòta \widehat{\R} = \{a\, I | a \in \R\}, se demòstra coma dins la premiera construccion que \widehat{\R} es un soscòrs de \C isomòrf a \R, çò que permet d'identificar cada reau a amb l'element a I de \C: dins aquest contèxte, s'escriurà a I = a e en particular I = 1. Doncas, en remplaçant la notacion J per la notacion usuala i, l'element generic z de \C s'escriu:

z = a\, 1 + b\, i = a + b\, i\text{, onte }i^2 = -1\,


Remarca: quand se compara lei doas construccions, se constata que, e mai leis ensembles construchs sián diferents, son doas « realizacions » isomòrfas dau còrs dei nombres complèxes: lei règlas de calcul son identicas. Dau ponch de vista de l'estructura algebrica, lei dos ensembles (l'ensemble dei pareus de nombres reaus e l'ensemble dei matritz de similituds dirèctas) se pòdon pas destriar.

Bibliografia[modificar | modificar la font]

A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer (1986). Edicions Bobbs-Merrill: Une Histoire des mathématiques – Routes et dédales, Seuil (en francés). ISBN 978-2-02-009138-1. 

Dominique Flament (2003). Edicions CNRS Éditions: Histoire des nombres complexes : Entre algèbre et géométrie (en francés). ISBN 2-271-06128-8. 

Jean-Pierre Friedelmeyer (1998). Le point de vue vectoriel, son application à la physique (en francés). 

E. Study et É. Cartan (1908). Les nombres complexes (en francés). 

Nòtas e referéncias[modificar | modificar la font]

  1. Notatz que per definicion, la partida imaginària es un nombre reau.
  2. Se pòt prendre lo plan \R^2 provesit de son estructura euclidiana canonica, e chausir la basa canonica.
  3. Çò qu'autoriza a parlar, au singular, dau còrs \C dei nombres complèxes.
  4. Autrament dich, confondre volontariament.