Estructura algebrica

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar

En matematicas, e pus particularament en algèbra, una estructura algebrica pura es constituida d’un ensemble (dich sosjacent) provesit d'una lèi de composicion (intèrna o extèrna) o de mai d'una, regida(s) per d'axiòmas. Una estructura algebrica mixta i aponde un òrdre o una topologia amb d'axiòmas de compatibilitat.

Estructuras algebricas puras[modificar | modificar la font]

Estructuras de basa[modificar | modificar la font]

Compòrtan que de lèis de composicion intèrna. Lei pus importantas son leis estructuras de grop, d’anèu e de còrs.

Estructuras amb una lèi intèrna unica[modificar | modificar la font]

  • magma : ensemble provesit d'una soleta lèi de composicion intèrna.
  • monoïde : magma associatiu amb un element neutre.

Estructuras amb doas lèis intèrnas[modificar | modificar la font]

  • anèu : ensemble provesit d’una estructura de grop additiu (d'element neutre notat "0") e d’una estructura de monoïde multiplicatiu (d'element neutre notat "1"), onte la multiplicacion es distributiva a respècte de l’addicion.
  • còrs : anèu onte tot element non nul es invertible (a respècte de la multiplicacion). Un còrs pòt èsser commutatiu (valent a dire que sa multiplicacion es commutativa) o non.

Estructuras amb aumens una lèi extèrna[modificar | modificar la font]

Estructuras amb una lèi intèrna e una lèi extèrna[modificar | modificar la font]

  • modul : grop additiu provesit d'una lèi de composicion extèrna : se definís lo produch d'un element de l'anèu e d'un element dau modul, somés en d'axiòmas de compatibilitat amb l'estructura de grop.

Algèbras : estructuras amb doas lèis intèrnas e una lèi extèrna[modificar | modificar la font]

  • algèbra sus un anèu : ensemble provesit au còp d'una estructura de modul sus un anèu e d'una estructura d'anèu (compatibla amb la precedenta ; la multiplicacion intèrna i es associativa)
  • algèbra commutativa : algèbra que sa multiplicacion intèrna es commutativa.

Estructuras algebricas ordenadas[modificar | modificar la font]

  • reticul : ensemble provesit d'una relacion d'òrdre parciau, onte tot pareu d'elements a una boina superiora e una boina inferiora. Se pòt definir d'un biais equivalent coma un ensemble provesit de doas lèis de composicion intèrna notadas "\vee" e "\wedge" satisfasent cèrts axiòmas (commutativitat, associativitat, idempoténcia, lèi d’absorpcion) ; per tot pareu (x, y) d'elements, x \vee y e x \wedge y s'interprètan respectivament coma la boina superiora e la boina inferiora dau pareu.

Estructuras algebricas topologicas[modificar | modificar la font]

  • Una estructura algebrica e una estructura topologica pòdon coexistir :
  • grop topologic : grop provesit d'una topologia tala que leis operacions (lèi intèrna e passatge au simetric) sián continuas.
  • espaci vectoriau topologic: un autre cas important.
  • espaci vectoriau normat : espaci vectoriau provesit d'una nòrma, indicant la « longor » d’un vector. Un espaci normat es un cas particular d'espaci metric, car se pòt definir una distància a partir de la nòrma.
  • espaci de Banach : espaci vectoriau normat complet.
  • espaci prehilbertian, o prehilbertian : espaci vectoriau reau o complèxe provesit d'un produch escalar. Se i pòt definir una nòrma, dicha euclidiana dins lo cas d'un prehilbertian reau, e hermitiana dins lo cas d'un prehilbertian complèxe. Quauquei cas importants :
  • espaci euclidian : prehilbertian reau de dimension finida. Provesit de son estructura afina, es lo quadre modèrne de la geometria classica d’Euclides.
  • espaci hermitian : prehilbertian complèxe de dimension finida.
  • espaci de Hilbert : prehilbertian complet (de dimension finida o infinida). Es un cas particular d'espaci de Banach. L'espaci de Hilbert es essenciau en fisica qüantica.

La lista precedenta es pas exaustiva...