Relacion binària

En matematicas, una relacion binària dins un ensemble E (que supausarem non vuege) es una proprietat relativa ai pareus d'elements de E, tala que per cada pareu, se pòt respòndre (de òc, o de non) a la question : "la proprietat es verificada per lo pareu considerat ?"

Per exemple, la relacion binària "èsser inferior o egau a" dins l'ensemble $\mathbb {R}$ dei nombres reaus es la proprietat verificada per lei pareus (x, y) de reaus taus que $x\leq y$ , coma $({\sqrt {3}},\,2)$ , mai pas $(3;\,-0,25)$ .

En teoria deis ensembles, s'identifica una relacion binària dins un ensemble E amb l'ensemble dei pareus d'elements de E que verifican la relacion (valent a dire la proprietat) : es un sosensemble dau carrat cartesian $E\times E=E^{2}$ . Per exemple, s'identifica la relacion binària precedenta dins $\mathbb {R}$ amb lo sosensemble ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ ansin definit :

${\mathcal {R}}=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\leq y\;\}$

Definicions e notacions

Formalament, una relacion binària dins un ensemble E es un sosensemble ${\mathcal {R}}$ dau carrat cartesian $E\times E=E^{2}$ . Se ditz qu'un pareu (x, y) d'elements de E verifica la relacion ${\mathcal {R}}$ se $(x,\,y)\in {\mathcal {R}}$ .

Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada e s'escriu : $x{\mathcal {R}}y$ en plaça de : $(x,\,y)\in {\mathcal {R}}$ .

Exemples

• Dins un ensemble E, l'egalitat es la relacion binària definida per l'ensemble $\Delta =\{(x,\,x)\mid x\in E\;\}$ (la diagonala de $\ E^{2}$ ).

• Dins l'ensemble $\mathbb {Z}$ , aver la meteissa paritat es una relacion binària ; per exemple −2 a la meteissa paritat que 6 (son pars totei dos), e 7 a la meteissa paritat que 23 (son impars totei dos) ; en convenent d'escriure aicí : $a\equiv b$ quand l'entier a a la meteissa paritat que l'entier b, se pòt afiermar que $-2\equiv 6$ e que $7\equiv 23$ .

• Dins l'ensemble ${\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ dei partidas d'un ensemble $\ \Omega$ , l'inclusion es una relacion binària : estent un pareu (A, B) de partidas (o sosensembles) de $\ \Omega$ , se A es inclusa dins B, s'escriu : $A\subset B$ .

• Dins l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus, se definís :
  • doas relacions binàrias dichas inegalitats largas ($\leq ,\geq$ ) e
  • doas relacions binàrias dichas inegalitats estrictas (<, >).

• Dins l'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus, la divisibilitat es una relacion binària. Estent un pareu (a, b) d'entiers naturaus, se ditz que a dividís b, o que a es un divisor de b (o encara que b es un multiple de a) s'existís un entier naturau q tau que b = a q (lo produch de a e q) ; en aqueu cas, s'escriu : $a\mid b$ ; ansin : $3\mid 15$ .

Classificacion

Citam aicí quauquei proprietats frequentas, e importantas, dei relacions binàrias : la reflexivitat, la simetria, l'antisimetria e la transitivitat.

Siá ${\mathcal {R}}$ una relacion binària dins un ensemble E;

Reflexivitat

Se ditz que ${\mathcal {R}}$ es reflexiva se per tot element x de E :

$x{\mathcal {R}}x$

Simetria

Se ditz que ${\mathcal {R}}$ es simetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

$(x{\mathcal {R}}y)\Rightarrow (y{\mathcal {R}}x)$

Antisimetria

Se ditz que ${\mathcal {R}}$ es antisimetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

$(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}x)\Rightarrow (x=y)$

Transitivitat

• Se ditz que ${\mathcal {R}}$ es transitiva se per tot triplet (x, y, z) d'elements de E :

$(x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)\Rightarrow (x{\mathcal {R}}z)$

Exemples

• Dins un ensemble E, l'egalitat es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
  • se x es un element de E, alora x = x (reflexivitat)
  • se x, y son d'elements de E taus que x = y, alora y = x (simetria)
  • se x, y, z son d'elements de E taus que x = y e y = z, alora x = z (transitivitat)
• Dins l'ensemble $\mathbb {Z}$ deis entiers, "aver la meteissa paritat" es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
  • se x es un entier, alora $x\equiv x$ (reflexivitat)
  • se x, y son d'entiers taus que $x\equiv y$, alora $y\equiv x$ (simetria)
  • se x, y, z son d'entiers taus que $x\equiv y$ e $y\equiv z$, alora $x\equiv z$ (transitivitat)
• Dins l'ensemble ${\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ , l'inclusion es una relacion binària reflexiva, antisimetrica e transitiva :
  • se A es una partida de $\ \Omega$, alora $A\subset A$ (reflexivitat)
  • se A, B son de partidas de $\ \Omega$ talei que $A\subset B$ e $B\subset A$, alora A = B (antisimetria)
  • se A, B, C son de partidas de $\ \Omega$ talei que $A\subset B$ e $B\subset C$, alora $A\subset C$ (transitivitat)
• Dins l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus :
  • caduna dei doas relacions d'inegalitat larga es reflexiva, antisimetrica e transitiva
  • caduna dei doas relacions d'inegalitat estricta es transitiva
• Dins l'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus, la relacion de divisibilitat es reflexiva, antisimetrica e transitiva

Vejatz tanben

• Pareu
• Produch cartesian
• Relacion d'equivaléncia
• Relacion d'òrdre