Relacion binària

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar

En matematicas, una relacion binària dins un ensemble E (que supausarem non vuege) es una proprietat relativa ai pareus d'elements de E, tala que per cada pareu, se pòt respòndre (de òc, o de non) a la question : "la proprietat es verificada per lo pareu considerat ?"

Per exemple, la relacion binària "èsser inferior o egau a" dins l'ensemble \mathbb R dei nombres reaus es la proprietat verificada per lei pareus (x, y) de reaus taus que x \leq y , coma (\sqrt{3},\, 2) , mai pas (3 ;\, -0,25) .

En teoria deis ensembles, s'identifica una relacion binària dins un ensemble E amb l'ensemble dei pareus d'elements de E que verifican la relacion (valent a dire la proprietat) : es un sosensemble dau carrat cartesian E \times E = E^2 . Per exemple, s'identifica la relacion binària precedenta dins \mathbb R amb lo sosensemble \mathcal{R} de \mathbb R^2 ansin definit :

\mathcal{R} = \{ (x,\, y) \in  \mathbb R^2 \mid x \leq y\;\}


Definicions e notacions[modificar | modificar la font]

Formalament, una relacion binària dins un ensemble E es un sosensemble \mathcal{R} dau carrat cartesian E \times E = E^2 . Se ditz qu'un pareu (x, y) d'elements de E verifica la relacion \mathcal{R} se (x,\, y) \in \mathcal{R} .

Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada e s'escriu : x \mathcal{R} y en plaça de : (x,\, y) \in \mathcal{R} .

Exemples[modificar | modificar la font]

  • Dins un ensemble E, l'egalitat es la relacion binària definida per l'ensemble \Delta = \{ (x,\, x) \mid x \in E\;\} (la diagonala de \ E^2 ).
  • Dins l'ensemble \mathbb Z , aver la meteissa paritat es una relacion binària ; per exemple −2 a la meteissa paritat que 6 (son pars totei dos), e 7 a la meteissa paritat que 23 (son impars totei dos) ; en convenent d'escriure aicí : a \equiv b quand l'entier a a la meteissa paritat que l'entier b, se pòt afiermar que -2 \equiv 6 e que 7 \equiv 23 .
  • Dins l'ensemble \mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega) dei partidas d'un ensemble \ \Omega , l'inclusion es una relacion binària : estent un pareu (A, B) de partidas (o sosensembles) de \ \Omega , se A es inclusa dins B, s'escriu : A \subset B .
  • Dins l'ensemble \mathbb{R} dei reaus, se definís :
    • doas relacions binàrias dichas inegalitats largas (\leq, \geq ) e
    • doas relacions binàrias dichas inegalitats estrictas (<, >).
  • Dins l'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus, la divisibilitat es una relacion binària. Estent un pareu (a, b) d'entiers naturaus, se ditz que a dividís b, o que a es un divisor de b (o encara que b es un multiple de a) s'existís un entier naturau q tau que b = a q (lo produch de a e q) ; en aqueu cas, s'escriu : a \mid b ; ansin : 3 \mid 15 .

Classificacion[modificar | modificar la font]

Citam aicí quauquei proprietats frequentas, e importantas, dei relacions binàrias : la reflexivitat, la simetria, l'antisimetria e la transitivitat.

Siá \mathcal{R} una relacion binària dins un ensemble E;

Reflexivitat[modificar | modificar la font]

Se ditz que \mathcal{R} es reflexiva se per tot element x de E :

x \mathcal{R} x

Simetria[modificar | modificar la font]

Se ditz que \mathcal{R} es simetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

(x \mathcal{R} y) \Rightarrow (y \mathcal{R} x)

Antisimetria[modificar | modificar la font]

Se ditz que \mathcal{R} es antisimetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

(x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} x) \Rightarrow (x = y)

Transitivitat[modificar | modificar la font]

  • Se ditz que \mathcal{R} es transitiva se per tot triplet (x, y, z) d'elements de E :
(x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} z) \Rightarrow (x \mathcal{R} z)

Exemples[modificar | modificar la font]

  • Dins un ensemble E, l'egalitat es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
    • se x es un element de E, alora x = x (reflexivitat)
    • se x, y son d'elements de E taus que x = y, alora y = x (simetria)
    • se x, y, z son d'elements de E taus que x = y e y = z, alora x = z (transitivitat)
  • Dins l'ensemble \mathbb{Z} deis entiers, "aver la meteissa paritat" es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
    • se x es un entier, alora x \equiv x (reflexivitat)
    • se x, y son d'entiers taus que x \equiv y, alora y \equiv x (simetria)
    • se x, y, z son d'entiers taus que x \equiv y e y \equiv z, alora x \equiv z (transitivitat)
  • Dins l'ensemble \mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega) , l'inclusion es una relacion binària reflexiva, antisimetrica e transitiva :
    • se A es una partida de \ \Omega, alora A\subset A (reflexivitat)
    • se A, B son de partidas de \ \Omega talei que A \subset B e B \subset A, alora A = B (antisimetria)
    • se A, B, C son de partidas de \ \Omega talei que A \subset B e B \subset C, alora A \subset C (transitivitat)
  • Dins l'ensemble \mathbb{R} dei reaus :
    • caduna dei doas relacions d'inegalitat larga es reflexiva, antisimetrica e transitiva
    • caduna dei doas relacions d'inegalitat estricta es transitiva
  • Dins l'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus, la relacion de divisibilitat es reflexiva, antisimetrica e transitiva

Vejatz tanben[modificar | modificar la font]