Veire la font de Parabòla

{{Projècte educatiu|Matematicas}}
{{omon|Parabòla (omonimia)}}
[[Fichièr:Parabolallocgeometric.gif|vinheta|Una parabòla es un ensemble de cobles (x, y) dont la rapresentacion analitica es f(x)≡y=x².]]
La '''parabòla''' es una corba plana simetrica per l'ais de las ordenadas. Se pòt definir [[Matematicas|matematicament]] de mai d'un biais, equivalents. Mai sovent, la parabòla se definís coma una corba plana que cadun dels punts se situa a egala distança d'un punt fixe, lo [[Focus|fogal]], e d'una drecha fixa, la directritz. Mas se pòt tanben la definir coma l'interseccion d'un plan amb un [[Còn|còn de revolucion]] quand lo plan es parallèl amb un autre plan tangent a la [[Superfícia (matematicas)|surperfícia]] del còn.

S'agís d'un tipe de corba algebrica que fòrça proprietats geometricas interessèron los [[Matematician|matematicians]] dempuèi l'[[Antiquitat]] e recebèron d'aplicacions tecnicas varietats en optica, [[Telecomunicacions|telecomunicacion]]<span>, eca.</span><abbr class="abbr" title="et cetera"></abbr>

== Matematicas ==

=== Seccion conica ===
Las parabòlas fan partit de la familha dels conics, es a dire de las corbas que s'obtenon per l'interseccion d'un [[còn]] de revolucion amb un plan; per l'escasença, la parabòla es obtenguda qunad lo plan es parallèl a l'una de las generatriças del còn e perpendicular a l'autre plan que conten la meteissa generatritz e l'axe del còn.
=== Directritz, fogal e excentricitat ===
[[Fichièr:Conicas2.PNG|La parabòla es l'interseccion d'un plan amb un còn de revolucion quand lo plan es parallèla a una de las generatriças del còn.|vinheta|139x139px]]Sián <math>D</math> una drecha e <math>F</math> un punt apartenent pas a <math>D</math>, e siá <math>P</math> lo plan contenent la drecha <math>D</math> e lo punt <math>F</math>. Se nomena parabòla de ''drecha directritz'' <math>D</math> e de  ''fogal'' <math>F</math> l'ensems dels punts <math>M</math> del plan <math>P</math> a egala distança del fogal <math>F</math> e de la drecha <math>D</math>, es a dire verificant:
: <math>d(M,F) = d(M,D)</math>
ont <math>d(M,F)</math> mesura la distança del punt <math>M</math> al punt <math>F</math> e <math>d(M,D)</math> mesura la distança del punt <math>M</math> a la drecha <math>D</math>. La parabòla es un biais de conic que l'excentricitat <math>e</math> val 1.

=== Equacions ===

==== Dempuèi lo fogal e la directritz ====
[[Fichièr:Parabole_foyer_F_directrice_d.png|thumb|Parabòla de drecha directritz ''d'' e de fogal ''F''.|esquèrra|143x143px]]
Se la parabòla es donada per son fogal <math>F</math> e sa directritz <math>\mathcal D</math>, se noma <math>O</math> lo projectat ortogonal de <math>F</math> sus <math>\mathcal D</math>, se nomena <math>p</math> (paramètre de la parabòla) la distança <math>OF</math> e se nomena <math>S</math> lo mitan de <math>[FO]</math>. Alara, dins la marca ortonormada <math>(S,\vec i, \vec j)</math> ont <math>\vec j</math> a meteissa direccion e sens que <math>\overrightarrow{OF}</math>, l'equacion de la parabòla es
: <math>y = \frac{x^2}{2p}</math>

==== Dempuèi la foncion del segond gra ====
La corba representativa d'una foncion polinòma del segond gra d'equacion
: <math>y = ax^2 + bx + c</math>
ont <math>a,\,b</math> e <math>c</math> son de constantas realas (<math>a</math> non nul), es una parabòla. Dins lo cas <math>a = 1</math>, <math>b = 0</math>, e <math>c = 0</math>  s'obtien una expression simpla per una parabòla: <math>y =x^2</math>.

Dins la marca <math>(O,\vec i, \vec j)</math>, la cima <math>S</math> d'una parabòla es  lo punt de coordonadas <math>\left(- \tfrac{b}{2a}; -\tfrac{b^2 - 4ac}{4a}\right)</math>. Son axe de simetria es l'axe <math>(S\vec j)</math>.

Dins la marca <math>(S,\vec i, \vec j)</math>, son equacion es 

<math>Y = aX^2,</math>

Son fogal es lo punt <math>F\left(0;\tfrac{1}{4a}\right)</math> e sa directritz es la drecha <math>\mathcal D</math> d'equacion <math>Y = - \frac{1}{4a}</math>

Dins la marca  <math>(O,\vec i, \vec j)</math>, lo fogal a donc per coordonadas<ref>[http://www.geogebratube.org/student/m188574 illustracion animada] amb geogebra</ref>  <math>\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\right)</math> e la directritz per equacion <math> y=- \frac{1+\Delta}{4a}</math> ont <math>\Delta=b^2-4ac</math>

==== Dempuèi l'equacion generala ====
Siá l'equacion <math>Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey +F = 0</math>, dins una marca ortonormala. Se <math>B^2 - AC = 0</math> alara aquela equacion es aquela d'una parabòla o de dos drechas parallèlas.

Reciprocament, se (C) es una parabòla, alara possedís, dins tota marca ortonormala, una equacion de la forma precedenta.

Siá l'equacion <math>Ax^2 + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0</math>, dins una marca ortonormala. Se <math>AC = 0</math> amb <math>AE</math> o <math>DC</math> non nul alara aquela equacion es aquela d'una parabòla que l'axe es parallèl a un dels axes de la marca.

==== Equacion polara ====
Dins la marca polara <math>(O, \vec e_{r}, \vec e_{\theta})</math> ont O es lo fogal de la parabòla e l'axe polar n'es l'axe fogal, l'equacion de la parabòla es <math>\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OP} = \frac{p}{1+\cos(\theta)} \vec e_{r}</math>.

==== Parametrizacion ====
Dins la marca cartesiana <math>(O, \vec i, \vec j)</math> ont <math>O</math> es lo punt situat al mitan del segment constituit del fogal <math>F</math> e de sa projeccion <math>H</math> sus la directritz e ont <math>\vec j</math> es un vector unitari orientat de <math>O</math> cap a <math>F</math>, se pòt envisatjar mai d'una parametrizacions de la parabòla<span></span>:
# Una parametriszacion cartesiana per l'abscissi<span></span>: <math>\overrightarrow{OP}(x)=x\vec i+\frac{x^2}{2p}\vec j</math>, per tot <math>x\in\R</math>
# Une parametrizacion cartesiana per l'ordonnada<span></span>: <math>\overrightarrow{OP}(y)=(\pm\sqrt{2py})\vec i+y\vec j</math>, pour tout <math>y\in\R^+</math>
# De parametrizacions cartesianas dependent caduna d'una constanta arbitrària ''a''>0 : <math>\overrightarrow{OP}(t)=2pat\vec i+2pa^2t^2\vec j=2pa(t\vec i+at^{2}\vec j)</math>, per tot <math>t\in\R</math>
(Per ''a''=1/(2''p'') se trapa la parametrizacion per l'abscissi.) Aquelas parametrizacions son regularas (i.e. lo vector derivat ne s'anulan pas).
Lo vector <math>(1,2at)</math> dirigís alara la tangenta al punt de paramètre <math>t</math>.

=== De proprietats geometricas de la parabòla ===

==== Còrdas parallèlas ====
Totas las còrdas parallèlas an lor mitan situat sus una drecha perpendiculara a la directritz. La tangenta parallèla a aquela direccion a son punt de contacte sus aquela drecha. Las doas tangentas a la parabòla als tèrmes d'una tala còrda se trencan sus aquela drecha.

==== Tangenta e bisectritz ====
Se A es un punt sus una parabòla definida per un fogal ''F'' e une directritz ''(d)'', alara la tangenta de la parabòla en ''A'' es la bisectritz interiora de l'angle formada per ''F, A'' e lo projectat ortogonal de ''A'' sus ''(d)''.
[[Fichièr:Propriete_reflexion_parabole-tangente_bissectrice.svg|thumb|Illustracion de la proprietat en optica.]]
Aquela proprietat explica lo principi dels miralhs parabolics<span></span>: l'angle que fan las drechas ''(AF)'' e ''(b)'' es egal a l'angle que fan las drechas ''(AH)'' e ''(b)'', donc las drechas ''(AH)'' e ''(AF)'' son simetrica al respècte de la tangenta, e tanben al respècte de la normala a la tangenta. En optica, aquò significa qu'un rai eissit de ''F'' e tocant ''A'' subís un rebat especular de direccion ''(AH)'', que segon la lei de Snell-Descartes, l'angle d'incidéncia es egala a l'angle de rebat. Donc, totes los rais eissits de ''F'' son rebatuts dins la meteissa direccion, perpendiculara a ''(d)''.

==== Proprietat al respècte de l'ortoptica ====
[[Fichièr:Orthop.gif|thumb|Se desplaçant le long de sa directritz, la parabòla es totjorn vist jos un angle drech.]]
Sián <math>M</math> e <math>M'</math> los punts d'interseccion d'una drecha quina que siá passant pel fogal de la parabòla amb la parabòla. 
Las doas tangentas de la parabòla passant per <math>M</math> e <math>M'</math> se trencan sus la directritz formant un angle drech entre elas. Mai, se se nomena <math>H</math> e <math>H'</math> los projectats respectius de <math>M</math> e <math>M'</math> sus la directritz e <math>O</math> lo punt d'interseccion de las doas tangentas e de la directritz, alara <math>O</math> es le mitan de <math>[HH']</math>.

Se desplaçant lo long de sa directritz, la parabòla es totjorn vist jos un angle drech.

== Aplicacions ==

=== Fisica ===
[[Fichièr:Tir_parabòlic.png|thumb|trajectòria parabolica.]]
La '''parabòla''' es la trajectòria descricha per un objècte que se lança se se pòt negligir la corbadura de la [[Tèrra]], lo frejadís de l'aire (vent, ralentissen l'objècte) e la variacion de la [[gravitat]] amb la nautor.
* Torricelli demostrèt (1640) que l'envelòpa d'aquelas trajectòrias es d'esperela una parabòla:  parabòla de seguretat.

=== Ondas hertzienas e lutz ===
Per metonimia, una '''parabòla''' designa una [[antena parabolica]]. S'agís mai exactament d'una aplicacion de las proprietats de la superfícia nomenada paraboloíd de revolucion.
[[Fichièr:Headlight_reflector_optics_schematic.png|thumb|Principi del lum automobil de miralh parabolic.]]
Los paraboloíds permeton siá de concentrar d'ondas o de rais dins un punt, lo fogal de la parabòla (es aquela proprietat qu'es utilizada per las antenas), siá al contrari de difusar jos la forma d'un fais cilindric la lutz producha per una ampola al fogal de la parabòla (proprietat expleitada per un projector o un far).

Un cilindre parabolic permet, tanben, de concentrar la lutz sus una drecha, per exemple dins de concentrators solars

== Bibliografia ==
* {{fr}} {{Cite book|cognòm=Eiden|nom=Jean-Denis|títol=Géométrie analytique classique|editor=Calvage & Mouner|an=2009|isbn=978-2-91-635208-4}}
* {{fr}} {{Cite book|cognòm=Fresnel|nom=Jean|títol=Méthodes modernes en géométrie}}
* {{fr}} {{Cite book|cognòm=Ingrao|nom=Bruno|títol=Coniques affines, euclidiennes et projectives|isbn=ISBN 978-2-916352-12-1}}

== Referéncia ==
<references/>

== Vejatz tanben ==

=== Articles connèxes ===
* [[Conics]]
** [[Iperbòla]]
** [[Ellipsa]]

=== Ligams extèrnes ===
* {{fr}} [https://web.archive.org/web/20050829092957/http://www.unige.ch/~wanner/Geo.html Cors de geometria] de {{Romanas|Wanner}} Gerhard  de l'Universitat de Genèva, seccion de matematicas.
* {{fr}} [http://xavier.hubaut.info/coursmath/2de/belges.htm Los teorèmas "belgas"] - Conics e teorèma de Dandelin.
* {{fr}} [http://xavier.hubaut.info/coursmath/app/poids.htm Lançament del pés] - Parabòla de seguretat.