Familha (matematicas)

En matematicas, la nocion de familha generaliza aquela de n-uplet o de seguida. Ansin se poirà parlar, en algèbra lineara, de la familha de vectors $(u_{1},\,u_{2},\dots ,\,u_{n})\;$ , qu'es una familha finida, o de la familha nombrabla $(u_{n})_{\,n\,\in \,\mathbb {N} }$ .

Definicions

Una familha $(x_{i})_{\,i\,\in \,I}$ d'elements d'un ensemble E indexada per un ensemble (non vuege) I es una aplicacion definida subre I e que pren sei valors dins E. Pus explicitament, es l'aplicacion $f:I\to E,\,i\mapsto x_{i}$ .

Leis elements de I son sonats indèx : se ditz que l es l'ensemble deis indèx. Per tot $i\in I$ , l'element $\ x_{i}$ de E es sonat element d'indèx i de la familha $(x_{i})_{\,i\,\in \,I}$ : leis elements de la familha son aquelei de l'ensemble imatge f(E) (mai es essenciau de destriar la familha de l'ensemble de seis elements : doas familhas diferentas pòdon aver lo meteis ensemble d'elements).

Per definicion, la cardinalitat d'una familha es la cardinalitat de l'ensemble I deis indèx : una familha finida es una familha que l'ensemble de seis indèx es finit, una familha infinida es una familha que l'ensemble de seis indèx es infinit, una familha nombrabla es una familha que l'ensemble de seis indèx es nombrable, etc.

Exemples frequents

Se n es un entier naturau non nul, un n-uplet d'elements d'un ensemble E es una familha d'elements de E indexada per l'ensemble finit deis entiers naturaus i taus que 1 ≤ i ≤ n.

Se sòna seguida d'elements d'un ensemble E una familha $(x_{n})_{\,n\,\in \,\mathbb {N} }$ d'elements de E indexada per l'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus ; autrament dich, es una aplicacion $\mathbb {N} \to E$
(se pòt que l'ensemble $\mathbb {N}$ siá remplaçat per d'autrei, coma $\mathbb {N} ^{\ast }=\mathbb {N} \setminus \{0\}$ ).

Se $\Omega$ es un ensemble, una familha de partidas de $\Omega$ indexada per un ensemble I es una familha $(A_{i})_{\,i\,\in \,I}$ de sosensembles de $\Omega$ ; autrament dich, es una aplicacion $\ I\to {\mathcal {P}}(\Omega )$ .

Vejatz tanben