Equacion del primièr gra

Una equacion del primièr gra es una equacion ont las poténcias de l'inconeguda o d'inconegudas son de gra 1 e 0 unicament coma los problèmas de proporcionalitat simpla. Dins los cas mai complèxes, pòt èsser una equacion quina que siá que s'i torna per de manipulacions algebricas.

Per exemple:

• 13u – 8u = 3,6×5 ;
• 4a + 7 = 8 ;
• r + b×4 = 0 ;
• 3d + 5d – 7 – 11d = –4.

Istoric

La resolucion dels problèmas del primièr gra comencèt pels algoritmes babilonians e egipcians, contunhèt pels metòdes de falsa posicion a l'Edat Mejana o de resolucion dirècta pels Arabs puèi pels metòdes modèrnes usant d'un simbolisme.

Resolucions

Falsa posicion simpla

Lo principo s'aplica quand i a proporcionalitat dins lo fenomèn. Consistís a far un assaf (una posicion falsa) e ne deduire la solucion.

Anam estudiar aqueste metòde dins lo cas del problème babilonian seguent:

« Ai una pèira mas l'ai pas pesada. Après aver levat un seten de son pes, ai pesat lo tot e ai trobat: 1 ma-na (unitat de massa). Quin èra lo pes de la pèira a l'origina ? »

Se pòt donar una valor arbitrària (posicion falsa) al pes de la pèira, per exemple 7. Aquesta valor es pas completament donada a l'azard, es donanda pel calcul çai dejós que fa intervenir de biais simple 6, nombre simple de manipulcar en numeracion sexagesimala babiloniana (en basa 60).

Se la pèira pèsa 7 ma-na, lo seten de 7 essent 1, la pèira aleugiada pesa 6 ma-na, çò qu'es 6 còps mai grand que la valor cercada (1 ma-na).

Per que la pèira aleugiada pese un ma-na, cal donc prene al començament una pèira 6 còps mai leugièra donc la solution es set seisen: ${\frac {7}{6}}$.

Atencion, aqueste metòde fonciona pas que dins unas escasenças, per exemple se la inconudas son d'un costat de l'egalitat e los nombres coneguts de l'autre. D'entre las equacions pausadas dins l'introduccion, sola la primièra se resòlv atal.

Vaquí l'equacion d'aqueste problèma, se se nòta p lo pes de la pèira: $p-{\frac {p}{7}}=1$.

Falsa posicion dobla

Lo principi de la dobla falsa posicion s'aplica quand i a pas proporcionalitat dins lo fenomèn. Consistís a far dos assags (trobar doas posicions falsas) e ne deduire la solucion (o posicion exacta). Es preferable (coma en artilhariá) de far une proposicion febla e una proposicion fòrta.

Exemple: Dins aqueste tropèl de vacas, se s'escambia lo tèrç d'aquestas bèstias contra aquestas 17 bèlas vacas, lo nombre de vacas passa a 41.

• Primièr assag fèble: prene 24 vacas. Se'n lèva lo tèrç. Demora 16 vacas. S'apond 17 vacas. Lo tropèl conten alara 33 vacas donc 8 de mens que çò que se vòl.
• Segond assag fòrt: prene 45 vacas. Se'n lèva lo èrç. Demora 30 vacas. S'apond 17 vacas. Lo tropèl conten alara 47 vacas siá 6 vacas de tròp.

Lo nombre exacte de vacas es alara una mejana dels dos assags ponderats per las errors comesas. Brèu, lo nombre de vacas es ${\frac {24\times 6+45\times 8}{6+8}}=36$

Explicacion matematica

Vaquí un assag d'explicacion sens far intervenir de calcul algebric.

Dins aqueste problèma, se trabalha sus un fenomèn afina: i a pas de proporcionalitat entre lo nombre de vacas al començament e lo nombre de vacas a l'arribada mas i a sempre proporcionalitat entre lo nombre de vacas apodudas al començament e lo nombre de vacas en mai a l'arribada :

• se al començament se pren 3 vacas, a l'arribada n'i a 19;
• se al començament se pren 24 vacas (21 de mai) a l'arribada n'i a 33 (14 de mai);
• se al començament se pren 45 vacas (42 de mai), a l'arribada n'i 47 (28 de mai).

Se pòt donc bastir un tablèu de proporcionalitat en comptant lo nombre de vacas en mai al respècte al cas de la primièra falsa posicion, dins lo cas de la posicion exacta e de la segonda falsa posicion.

Posicion	Partença	Arribada
exacta	?	8
segonda falsa	45 – 24	14

La règle de la quatrena proporcionala dona pel nombre de vacas d'apondre a 24:

${\frac {8\times (45-24)}{14}}$

es a dire un nombre total de vacas de

${\frac {8\times 45+6\times 24}{14}}$.

Se pòt admirar lo meriti dels Indians e dels Chineses, capables de concebre e aplicar aqueste metòde sens l'ajuda de l'algèbra. Se pòt tanben admirar l'eficacitat de l'escritura algebrica que va far aqueste problèma extrèmament simple de resòlvre:

S'agís de resòlvre l'equacion x – x/3 + 17 = 41. Aquesta equacion es successivament equivalenta a

${\frac {2x}{3}}+17=41$

${\frac {2x}{3}}=24$se levèt 17 als dos membres de l'equacion

$x=24\times {\frac {3}{2}}=36$ se multipliquèt los dos membres per 3/2

Lo nombre inicial de vacas es donc 36.

Resolucion generala

Las equacions del primièr gra pòdon arribar a una equacion del tipe

$ax=b$

Existís alara 3 cas de figura:

• Se $a\neq 0$ la solucion de l'equacion $ax=b$ es de fach la definicion del quocient, o $x={\frac {b}{a}}$.
• Se $a=0$ e $b\neq 0$, l'egalitat a pas cas d'escasença de se produire e l'equacion admet alara pas cap de solucion. L'ensemble de las solucions es alara void.
• Se $a=0$ e $b=0$ alara l'egalitat es veraia quina que siá la valor de l'inconeguda. L'equacion admet alara per ensemble de solucion l'ensemble de totes los nombres se que se trabalha.

Remarca: Aquestas tres distinccions son valablas quand se cerca de resòlvre l'equacion dins l'ensemble dels reals, de racionals o de complèxes. Quand se cerca a resòlvre l'equacion dins l'ensemble dels entièrs, es possible que la solucion prepausada b/a siá pas entièra, sà dira alara que l'ensemble de las solucions es voida. Fin finala, quand sortissèm d'aquestes ensembles, existís d'autres distinccions (anèl non intègra) que sortisson de l'encastre de las matematicas elementària.

Ne venèm a vegada a las equacions del primièr gra a la forma seguenta:

$ax+b=0$.

Dins aqueste cas, l'equacion admet una unica solucion egala a $-{\frac {b}{a}}$ se e solament se $a\neq 0$.

Unes exemples

1) Las plaças a aqueste espectacle còstan 12 èuros, lo grop deu pagar 156 èuros. Quant i a de personas dins lo group?

Cal resòlvre dins N l'equacion 12x = 156 ont x representa lo nombre de personas del grop.

Solucion x = 156/12 = 13. I a donc 13 personas dins lp grop.

2) Las plaças a aqueste espectacle còstan 12 èuros, lo grop deu pagar 206 èuros. Quant i a de personas dins lo grop?

S'agís de resòlvre dins N l'equacion 12x = 206 ont x representa lo nombre de personas del grop.

Solucion x = 206/12 = 17,166.... Es pas un nombre entièr, lo problèma ten pas de solucion, lo caissièr auriá fach una erròr.

3) Se cerca resòlvre dins R, l'equacion 2x – 2 = 5x – (5 + x).

Las règlas de soma e de diferéncia permeton de dire qu'aquesta equacion es equivalenta successivament a las equacions seguentas:

2x - 2 = 4x – 5

2x + 3 = 4x s'apondèt 5 als dos membres de l'equacion

3 = 2x se levèt 2x als dos membres de l'equacion

2x = 3 l'egalitat pòt se liegir dins los dos sens

x = 3/2 es lo celèbre b/a de la règla generala

La solucion de l'equacion es alara 3/2.

4) Se cerca a resòlvre dins R, l'equacion 2x – 2 = 3x – (5 + x).

Las règlas de soma e de diferéncia permeton de dire que aquesta equacion es equivalenta successivament a las equacions seguentas:

2x – 2 = 2x – 5

–2 = –5 se levèt 2x als dos membres de l'equacion

Es pas possible que –2 siá egal a –5 donc l'equacion admet pas cap de solucion.

5) Se cerca de resòlvre dins R, l'equacion 2x – 5 = 3x – (5 + x).

Una simplificacion del membre de drecha mena a:

2x – 5 = 2x – 5.

Aquesta egalitat es sempre verai e depend pas de la valor de x. L'ensemble de las solucions es l'ensemble R.

Cas de proporcionalitat

Las equacions ${\frac {x}{a}}=b$ o ${\frac {a}{x}}=b$ son de cas de proporcionalitat a conéisser.

La solucion de la primièra equacion es $x=a\times b$ per a non nul.

La solucion de la segonda equacion es $x={\frac {a}{b}}$a condicion que a e b sián non nuls.