Foncion d'Heun

En matematicas, la foncion d'Heun locala H⁢ℓ(a,q;α,β,γ,δ;z) (Karl L. W. Heun (1889)) es la solucion de l'equacion diferenciala d'Heun qu'es olomòrfa e 1 en lo punt singular z = 0. La foncion d'Heun locala se nomena foncion d'Heun (notat Hf), s'es tanben regular en z = 1, e se sona polinòmi d'Heun (notat Hp) s'es regular en los tres punts singulars finits z = 0, 1, a.

Equacion d'Heun

L'equacion d'Heun es una equacion diferenciala ordinària (EDO) lineara de segond òrdre de la forma:

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.$

La condicion $\epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1$ es necessària per assegurar la regularitat del punt a ∞.

Lo nombre complèx q se nomena «paramètre accessòri». L'equacion d'Heun possedís quatre punts singulars regulars: 0, 1, a e ∞ amb exponents (0, 1 − γ), (0, 1 − δ), (0, 1 − ϵ), and (α, β). Cada EDO linear de segond òrdre del plan complèx agrandit amb al pus mai quatre punts singulars regulars, coma l'equacion de Lamé o l'equacion diferenciala ipèrgeometrica, se pòt transformar en aquesta equacion mejançant un cambiament de variabla.

q-analòg

Lo q-analòg de l'equacion d'Heun foguèt descobèrt per Hahn (1971) e estudiada per Takemura (2017).

Simetrias

L'equacion d'Heun a un grop de simetrias d’òrdre 192, isomorfics al grop de Coxeter del diagrama de Coxeter D₄, analògues a las 24 simetrias de las equacions diferencialas ipèrgeometricas obtenudas per Kummer. Las simetrias que fixan la foncion d'Heun locala forman un grop isomorfic d'òrdre 24 al grop simètric de 4 punts, de sòrta que i a 192/24 = 8 = 2 × 4 solucions essencialament desparièras donadas en agir sus la foncion d'Heun locala per aquelas simetrias, que donan de solucions per cadun dels dos exponents e per cadun dels quatre punts singulars. La lista completa de las 192 simetrias foguèt realizada per Maier (2007) mejançant calcul amb maquinas. Divèrses assages anteriors de divèrses autors de los listar a man contenián fòrça errors e d'omissions; per exemple, la majoritat de las 48 solucions localas enumeradas per Heun contenon de grèus errors.

Referéncias

• Erdélyi, A.; Oberhettinger, F.; Magnus, W.; Tricomi, F.. Higher Transcendental functions. 3. 
• Forsyth, Andrew Russell. Theory of differential equations. 4. Ordinary linear equations. 
• Hahn, W. On linear geometric difference equations with accessory parameters. 
• Heun, Karl, « Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten », 33(2)
• Maier, Robert S., « The 192 solutions of the Heun equation », 76(258), pp. 811–843
• Ronveaux, A.. Heun's differential equations. 
• Takemura, K., « Degenerations of Ruijsenaars–van Diejen operator and q-Painlevé equations », 2(1)
• Valent, Galliano. Difference equations, special functions and orthogonal polynomials. 

Articles connèxes

• Polinòmis De Heine–Stieltjes, una generalizacion dels polinòmis d'Heun.