Analisi numerica

L’analisi numerica es la brancha de las matematicas qu’estúdia los algoritmes permetent de resòlver numericament de problèmas de matematicas continuas. Per exemple, permet de respondre a de questions implicant de variablas realas o complèxas o de recharchar las solucions numericas d’una eqüacion diferenciala amb una teira de calculs. Es aitau un domeni de las matematicas aplicadas util en sciéncias fisicas e en engenheriá, particularament dempuèi l’invencion daus ordenadors.

Domeni d’aplicacion

Simulacion numerica d'un accident automobil realizat amb de tecnicas d'analisi numerica.

L’analisi numerica es adaptada a la rechercha de solucions numericas aproximativas, mas precisas, a de problèmas matematicas insolubles amb los metòdes literaus. Aquelas tecnicas son centraus per resòlver las eqüacions permetent de modelizar los movements de l’atmosfèra (meteorologia), la trajectòria d’un objècte especiau (astronautica), la desformacion de las veituras pendent un accident (industria automobila) o l’evolucion d’un merchat economic (industria financeira).

Istòria

L’analisi numerica es presenta dins mai d’un trabalh matematic dempuèi l’Antiquitat. Per exemple, l’interpolacion lineara èra probable utilizada per los matematicians seleucidas dau sègle III avC e grècs dau sègle II avC. Siguèt tanben descrita Los Nòu Chapitres sobre l’Art Matematic, un tractat chinés compilat entre los sègles II avC e II apC, e dins l’Almagest de Claudi Ptolemèu († 168 apC).

D’autres matematicans siguèron confrontats a de questions d’analisi numerica. Los noms de mai d’un algoritme indica aquela importància : metòde de Newton, interpolacion polinomiau de Lagrange, eliminacion de Gaus, metòde d'Euler... Pasmens, la fòrma moderna de l’analisi numerica es apareissuda pendent la primeira mieitat dau sègle XX. De publicacions d’E. T. Whittaker (1873-1956), de John von Neumann (1903-1957) e d’Herman Goldstine (1913-2004) son maites còps presentadas coma los tèxtes fondators de l’analisi numerica actuala.

Nocions principalas

Article principal : Propagacion de las incertituds.

A causa de son utilizacion de valors estimadas, l’estudi de las errors es fòrça importanta per l’analisi numerica. Mai d'una maneira existís per introduire d'errors dins la resolucion d'un problèma :

• las errors d'arredonit apareisson quand es impossible de representar precisament tots los nombres reals sobre una maquina dotada d'una memòria finida.
• las errors de troncacion apareisson quand lo desvolopament decimau d'un nombre es arrestat après un nombre definit de chifras après la virgula.

Per mesurar l'importància d'aquelas errors, siguèt definida la nocion d'estabilitat numerica d'un algoritme. Un metòde es estable quand l'error aumenta pas pendent los calculs.

Domenis d’estudis

Calcul de las valors de foncions

Lo calcul de las valors d’una foncion en un ponht donat es un problèma classic e sovent simple de l’analisi numerica. De tecnicas especificas son estadas desvolopadas per calcular o estimar la valor de foncions complèxas. Per exemple, lo metòde de Horner permet de calcular la valor d’un polinòm en un ponht x_{0 donat amb una division euclidiana.}

Interpolacion, extrapolacion e regression

Articles principals : Interpolacion, Extrapolacion e Regression.

L’interpolacion ensaja d’estimar la valor d’una foncion entre dos ponhts donats en partent de quauquas valors coneissudas. L’interpolacion lineara es un exemple simple de tecnica d’interpolacion. Supausa qu’una foncion evoluïssa d’un biais linear entre dos ponhts coneissuts. L’extrapolacion es un ensemble de tecnicas similaras, mas que permet d’estimar la valor d’un ponht situat fòra l’interval de las valors coneissudas de la foncion. La regression es tanben una question tochanta que deu faire cas de l’imprecision de las donadas. Los metòdes de regression son aitau ben adaptadas a l’analisi de mesuras experimentalas.

Resolucion d’eqüacions e sistèmas d’eqüacions

La resolucion de las eqüacions es un problèma fondamentau de l’analisi numerica. Dos cas diferents, las eqüacions linearas e non linearas, son comunament destriats. Un nombre important de metòdes son estats desvolopats per resòlver las questions regardant las eqüacions linearas (eliminacion de Gauss-Jordan, metòdes iteratius...). Per trobar las solucions de las eqüacions non linearas, s'emplejan d’algoritmes de rechercha de las solucions o de tecnicas de diferenciacion o de linearizacion.

Optimizacion

Article principal : Optimizacion.

Los problèmas d’optimizacion son de questions classicas dins l’industria o dins lo domeni de la programacion informatica. Demandan de trobar los ponhts ont una foncion es minimala o maximala, sovent en fasent cas d’un ensemble de constrentas.

Estimacion numerica de las integralas

Representacion antica de l'estimacion numerica de las integralas.

Article principal : Calcul numerica d'una integrala.

L’estimacion numerica de las integralas sobre un domeni particular per una foncion donada es un problèma ancian de las matematicas. Lor foncionament es basat sobre un cicle de tres fasas : division dau domeni en sosdomenis, estimacion de l’integrala sobre chasque sosdomeni, addicion daus resultats numerics. La formula de Newton-Cotes es un exemple de metòde d’aquel tipe.

Eqüacions diferencialas

Article principal : Eqüacion diferenciala.

Las tecnicas d’analisi numerica son capablas de calcular, d'un biais aprochat, las solucions de las eqüacions diferencialas, comprés d’eqüacions dificilas coma las eqüacions de derivadas parcialas. Per aquò, siguèron desvolopadas de metòdes per discretizar l'eqüacion.

Annexas

Bibliografia

• (en) Gene H. Golub e Charles F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, 1986.
• (en) Anthony Ralston e Phillips Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, Dover publications, 2001.
• (en) Nicholas J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
• (en) F. B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis, McGraw-Hill, 1974.
• (en) David Kincaid e Ward Cheney, Numerical Analysis : Mathematics of Scientific Computing, AMS, 2002.
• (en) Jeffery J. Leader, Numerical Analysis and Scientific Computation, Addison Wesley, 2004.
• (en) J. H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, 1988.
• (en) W. Kahan, « A survey of error-analysis », Proc. IFIP Congress 71 in Ljubljana. Info. Processing 71, 1972, pp. 1214-1239.
• (en) Lloyd N. Trefethen, « IV.21 Numerical analysis », en I. Leader, T. Gowers e J. Barrow-Green (dir.), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press, 2008, pp. 604-614.