Produch cartesian

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar

En matematicas, lo produch cartesian (var. produit cartesian) de dos ensembles A e B es l'ensemble de totei lei pareus que sa premiera componenta apartèn a A e la segonda a B. Se generaliza aisadament la nocion de produch cartesian de dos ensembles a aquela de produch cartesian d'un nombre finit d'ensembles, qu'es un ensemble de n-uplets.

Lei produchs cartesians devon son nom a René Descartes, qu'en creant la geometria analitica, foguèt lo premier qu'utilizèt en substància çò qu'en lengatge modèrne es sonat "ensemble dei pareus de nombres reaus" e notat \mathbb R \times \mathbb R o \mathbb R^2, per representar lo plan euclidian (rementem que \mathbb R designa l'ensemble dei nombres reaus).


Produch cartesian de dos ensembles[modificar | modificar la font]

Definicion[modificar | modificar la font]

Per tot ensemble A e tot ensemble B, existís un ensemble unic qu'a per elements lei pareus (a, b) que sa premiera componenta apartèn a A e la segonda a B. Aquel ensemble se nòta « A x B » e es nomenat produch cartesian de A per B.

Remarcas :

  • En particular, s'aumens un dei dos ensembles A, B es vuege, lo produch cartesian A x B es vuege.
  • Dins lo cas que leis ensembles A, B son totei dos non vueges, A x B = B x A se e solament se A = B. Autrament dich, l'òrdre dei factors es important e en generau, se fau engardar de confondre lei produchs cartesians A x B e B x A.

Cas particular : carrat cartesian d'un ensemble[modificar | modificar la font]

Per tot ensemble A, lo carrat cartesian de A es per definicion l'ensemble A x A dei pareus (a, b) que sei doas componentas apartènon a A. Se nòta A2.

Exemple[modificar | modificar la font]

Se A es l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } e B l'ensemble { pica, còr, carrèu, flor }, alora lo produch cartesian d'aquelei dos ensembles es l'ensemble seguent :

{ (A, pica), (R, pica), ... (2, pica), (A, còr), ... (3, flor), (2, flor) }

que se pòt identificar amb l'ensemble dei 52 cartas d'un jòc.

Grafs[modificar | modificar la font]

Se sòna graf tot sosensemble d'un produch cartesian A x B.

Generalizacion : produch cartesian d'un nombre finit d'ensembles[modificar | modificar la font]

Produch cartesian de tres ensembles[modificar | modificar la font]

Lo produch cartesian de 3 ensembles A, B, C se definís coma l'ensemble dei triplets (a, b, c) que sa premiera componenta apartèn a A, la segonda a B e la tresena a C. Aquel ensemble se nòta « A x B x C ». Aicí tanben, l'òrdre dei factors es important.

Cas particular : cube cartesian d'un ensemble[modificar | modificar la font]

Per tot ensemble A, lo cube cartesian de A es per definicion l'ensemble A x A x A dei triplets (a, b, c) que sei tres componentas apartènon a A. Se nòta A3.

Produch cartesian de n ensembles[modificar | modificar la font]

Lei definicions precedentas se generalizan sensa dificultat au cas d'un nombre finit d'ensembles. Lo produch cartesian de n ensembles A_1, \dots, A_n se definís coma l'ensemble dei n-uplets (a_1,\, a_2, \dots,\, a_n)\; que sa premiera componenta \ a_1 apartèn a \ A_1\;, la segonda componenta \ a_2 a \ A_2\;, ... e la n-ena componenta \ a_n a \ A_n.

Aquel ensemble se nòta :  A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n\;, o ben : \prod_{i = 1}^n A_i.

Cas particular: poténcia cartesiana n-ena d'un ensemble[modificar | modificar la font]

Per tot ensemble A, la poténcia cartesiana n-ena de A es per definicion l'ensemble A x ... x A (n factors) dei n-uplets que sei componentas apartènon totei a A. Se nòta An.

Vejatz tanben[modificar | modificar la font]