Equipoténcia

Equipoténcia
Proprietat P107 (tipe principal (GND)) de botar dens WIKIDATA
Identificacions d'autoritats
GND	[1]
ISNI	[2]
LCCN	[3]
ULAN
BNF	[4]
SUDOC	[5]
CALIS
CiNii
NDL
ISO standard
	Wikimedia Commons prepausa de documents multimèdia liures sus Equipoténcia.

En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents (o eqüipotents) e se nòta E ≈ F, s'existís una bijeccion $f : E \to F$. Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.

Proprietats de l'equipoténcia

L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :

• es reflexiva : per tot ensemble E, E ≈ E (existís aumens una bijeccion de E vèrs E : l'aplicacion identica de E)

• es simetrica : estent dos ensembles E e F, se E ≈ F, alora F ≈ E (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion $f : E \to F$ ; alora la recipròca $f^{-1}$ es una bijeccion $F \to E$)

• es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se E ≈ F e F ≈ G, alora E ≈ G (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion $f : E \to F$ e una bijeccion $g : F \to G$ ; alora la compausada $g \circ f : E \to G$ es una bijeccion)

Aiçò pròva que dins tot ensemble $\mathcal{E}$ d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient $\mathcal{E} / \approx\quad$ pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de $\mathcal{E}$.
Per exemple, se $\mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega)$ es l'ensemble dei partidas d'un ensemble $\Omega$, l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins $\mathcal{E}$.

Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.

Teorèma de Cantor-Bernstein

Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :

Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions $i : E \to F$ e $j : F \to E$, alora E ≈ F.

Exemples e còntraexemples

• L'ensemble $\mathbb{N}$ deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí $\mathcal{P}$, son equipotents : l'aplicacion $\mathbb{N} \to \mathcal{P},\, n \mapsto 2\, n$ es bijectiva

• Cas deis intervals de l'ensemble $\mathbb{R}$ dei nombres reaus.
  • Sián dos reaus a, b taus que $a < b$, e leis intervals
    $[a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ , $\,]a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$
    $[a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$ , $\,]a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$
    • Leis intervals $[a,\, b]$ e $[0,\, 1]$ son equipotents : l'aplicacion $[a,\, b] \to [0,\, 1],\, x \mapsto \frac{x - a}{b - a}$ es bijectiva.
    • Parierament, leis intervals $\,]a,\, b[\,$ e $\,]0,\, 1[\,$ (o encara $[a,\, b[\,$ e $[0,\, 1[\,$ ...) son equipotents.
  • Leis intervals $\,]0,\, 1[\,$ e $[0,\, 1]$ son equipotents :
    • l'aplicacion $i : \,]0,\, 1[\, \to [0,\, 1],\, x \mapsto x$ es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
    • l'aplicacion $j : [0,\, 1] \to \,]0,\, 1[\,,\, x \mapsto \frac{x + 1}{3}$ es injectiva
    • l'equipoténcia de $\,]0,\, 1[\,$ e $[0,\, 1]$ es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
  • Leis intervals $\mathbb{R} = \,]-\infty,\,+\infty[\,$ e $\,]-1,\, +1[\,$ son equipotents :
    l'aplicacion $\mathbb{R} \to \,]-1,\, +1[\,,\, x \mapsto \frac{x}{1 + |x|}$ es bijectiva.
  • En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de $\mathbb{R}$ quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.

• Estent un ensemble $\Omega$ , l'ensemble $\mathcal{P}(\Omega)$ de sei partidas es equipotent a l'ensemble $\{0,\, 1\}^\Omega$ dei foncions $\Omega \to \{0,\, 1\}$.
  Per o provar, s'associa en tota partida A de $\Omega$ sa foncion caracteristica $\chi_A : \Omega \to \{0,\, 1\}$.
  Se definís ansin: per tot element x de $\Omega$ , $\chi_A(x) = 1$ se $x \in A$ e $\chi_A(x) = 0$ se $x \notin A$.
  L'aplicacion $\mathcal{P}(\Omega) \to \{0,\, 1\}^\Omega,\, A \mapsto \chi_A$ es bijectiva : se f es una foncion $\Omega \to \{0,\, 1\}$ e se se definís $A = \{x \in \Omega \mid f(x) = 1\}$, es clar que A es la soleta partida de $\Omega$ tala que $\chi_A = f$ .

• Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble $\mathbb{N}$ deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble $\mathbb{R}$ dei reaus.
  Pus generalament, existís ges d'ensemble $\Omega$ que siá equipotent a l'ensemble $\mathcal{P}(\Omega)$ de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion $\Omega \to \mathcal{P}(\Omega)$ es jamai subrejectiva).

Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits

Ensembles equipotents a un ensemble finit

Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.

Ensembles equipotents a un ensemble infinit

Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).

Vejatz tanben

• bijeccion
• nombre cardinau
• teoria deis ensembles