Equipoténcia

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar

En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents (o eqüipotents) e se nòta EF, s'existís una bijeccion f : E \to F. Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.

Proprietats de l'equipoténcia[modificar | modificar la font]

L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :

  • es simetrica : estent dos ensembles E e F, se EF, alora FE (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion f : E \to F ; alora la recipròca f^{-1} es una bijeccion F \to E)
  • es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se EF e FG, alora EG (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion f : E \to F e una bijeccion g : F \to G ; alora la compausada g \circ f : E \to G es una bijeccion)

Aiçò pròva que dins tot ensemble \mathcal{E} d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient \mathcal{E} / \approx\quad pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de \mathcal{E}.
Per exemple, se \mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega) es l'ensemble dei partidas d'un ensemble \Omega, l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins \mathcal{E}.

Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.

Teorèma de Cantor-Bernstein[modificar | modificar la font]

Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :

Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions i : E \to F e j : F \to E, alora EF.

Exemples e còntraexemples[modificar | modificar la font]

  • L'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí \mathcal{P}, son equipotents : l'aplicacion \mathbb{N} \to \mathcal{P},\, n \mapsto 2\, n es bijectiva
  • Cas deis intervals de l'ensemble \mathbb{R} dei nombres reaus.
    • Sián dos reaus a, b taus que a < b, e leis intervals
      [a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} , \,]a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}
      [a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\} , \,]a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}
      • Leis intervals [a,\, b] e [0,\, 1] son equipotents : l'aplicacion [a,\, b] \to [0,\, 1],\, x \mapsto \frac{x - a}{b - a} es bijectiva.
      • Parierament, leis intervals \,]a,\, b[\, e \,]0,\, 1[\, (o encara [a,\, b[\, e [0,\, 1[\, ...) son equipotents.
    • Leis intervals \,]0,\, 1[\, e [0,\, 1] son equipotents :
      • l'aplicacion i : \,]0,\, 1[\, \to [0,\, 1],\, x \mapsto x es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
      • l'aplicacion j : [0,\, 1] \to \,]0,\, 1[\,,\, x \mapsto \frac{x + 1}{3} es injectiva
      • l'equipoténcia de \,]0,\, 1[\, e [0,\, 1] es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
    • Leis intervals \mathbb{R} = \,]-\infty,\,+\infty[\, e \,]-1,\, +1[\, son equipotents :
      l'aplicacion \mathbb{R} \to \,]-1,\, +1[\,,\, x \mapsto \frac{x}{1 + |x|} es bijectiva.
    • En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de \mathbb{R} quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.
  • Estent un ensemble \Omega , l'ensemble \mathcal{P}(\Omega) de sei partidas es equipotent a l'ensemble \{0,\, 1\}^\Omega dei foncions \Omega \to \{0,\, 1\} .
    Per o provar, s'associa en tota partida A de \Omega sa foncion caracteristica \chi_A : \Omega \to \{0,\, 1\} .
    Se definís ansin: per tot element x de \Omega , \chi_A(x) = 1 se x \in A e \chi_A(x) = 0 se x \notin A.
    L'aplicacion \mathcal{P}(\Omega) \to \{0,\, 1\}^\Omega,\, A \mapsto \chi_A es bijectiva : se f es una foncion \Omega \to \{0,\, 1\} e se se definís A = \{x \in \Omega \mid f(x) = 1\}, es clar que A es la soleta partida de \Omega tala que \chi_A = f .
  • Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble \mathbb{N} deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble \mathbb{R} dei reaus.
    Pus generalament, existís ges d'ensemble \Omega que siá equipotent a l'ensemble \mathcal{P}(\Omega) de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion \Omega \to \mathcal{P}(\Omega) es jamai subrejectiva).

Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits[modificar | modificar la font]

Ensembles equipotents a un ensemble finit[modificar | modificar la font]

Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.

Ensembles equipotents a un ensemble infinit[modificar | modificar la font]

Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).

Vejatz tanben[modificar | modificar la font]