Produch cartesian

En matematicas, lo produch cartesian (var. produit cartesian) de dos ensembles A e B es l'ensemble de totei lei pareus que sa premiera componenta apartèn a A e la segonda a B. Se generaliza aisadament la nocion de produch cartesian de dos ensembles a aquela de produch cartesian d'un nombre finit d'ensembles, qu'es un ensemble de n-uplets.

Lei produchs cartesians devon son nom a René Descartes, qu'en creant la geometria analitica, foguèt lo premier qu'utilizèt en substància çò qu'en lengatge modèrne es sonat "ensemble dei pareus de nombres reaus" e notat $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ o $\mathbb {R} ^{2}$ , per representar lo plan euclidian (rementem que $\mathbb {R}$ designa l'ensemble dei nombres reaus).

Produch cartesian de dos ensembles

Definicion

Per tot ensemble A e tot ensemble B, existís un ensemble unic qu'a per elements lei pareus (a, b) que sa premiera componenta apartèn a A e la segonda a B. Aquel ensemble se nòta « A x B » e es nomenat produch cartesian de A per B.

Remarcas :

En particular, s'aumens un dei dos ensembles A, B es vuege, lo produch cartesian A x B es vuege.
Dins lo cas que leis ensembles A, B son totei dos non vueges, A x B = B x A se e solament se A = B. Autrament dich, l'òrdre dei factors es important e en generau, se fau engardar de confondre lei produchs cartesians A x B e B x A.

Cas particular : carrat cartesian d'un ensemble

Per tot ensemble A, lo carrat cartesian de A es per definicion l'ensemble A x A dei pareus (a, b) que sei doas componentas apartènon a A. Se nòta A².

Exemple

Se A es l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } e B l'ensemble { pica, còr, carrèu, flor }, alora lo produch cartesian d'aquelei dos ensembles es l'ensemble seguent :

{ (A, pica), (R, pica), ... (2, pica), (A, còr), ... (3, flor), (2, flor) }

que se pòt identificar amb l'ensemble dei 52 cartas d'un jòc.

Grafs

Se sòna graf tot sosensemble d'un produch cartesian A x B.

Generalizacion : produch cartesian d'un nombre finit d'ensembles

Produch cartesian de tres ensembles

Lo produch cartesian de 3 ensembles A, B, C se definís coma l'ensemble dei triplets (a, b, c) que sa premiera componenta apartèn a A, la segonda a B e la tresena a C. Aquel ensemble se nòta « A x B x C ». Aicí tanben, l'òrdre dei factors es important.

Cas particular : cube cartesian d'un ensemble

Per tot ensemble A, lo cube cartesian de A es per definicion l'ensemble A x A x A dei triplets (a, b, c) que sei tres componentas apartènon a A. Se nòta A³.

Produch cartesian de n ensembles

Lei definicions precedentas se generalizan sensa dificultat au cas d'un nombre finit d'ensembles. Lo produch cartesian de n ensembles $A_{1},\dots ,A_{n}$ se definís coma l'ensemble dei n-uplets $(a_{1},\,a_{2},\dots ,\,a_{n})\;$ que sa premiera componenta $\ a_{1}$ apartèn a $\ A_{1}\;$ , la segonda componenta $\ a_{2}$ a $\ A_{2}\;$ , ... e la n-ena componenta $\ a_{n}$ a $\ A_{n}$ .

Aquel ensemble se nòta : $A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}\;$ , o ben : $\prod _{i=1}^{n}A_{i}$ .

Cas particular: poténcia cartesiana n-ena d'un ensemble

Per tot ensemble A, la poténcia cartesiana n-ena de A es per definicion l'ensemble A x ... x A (n factors) dei n-uplets que sei componentas apartènon totei a A. Se nòta Aⁿ.

Vejatz tanben