Foncion trigonometrica

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Anar a : navigacion, Recercar
Totas las foncions trigonometricas d'un angle θ se pòdon bastir geometricament en tèrmes de la circonferéncia goniometrica.


Gtk-dialog-info.svg Aqueste article es sortit d'un traductor automatic e fa besonh d'unas correccions de gramatica, d'ortografia e de sintaxi.

En matematicas, las foncions trigonometricas son de foncions d'un angle. Son la basa per l'estudi de la trigonometria, los triangles e per la modelizacion dels fenomèns periodics, entre fòrça autras aplicacions. Las foncions trigonometricas se definisson abitualament coma quocients entre las longituds de dos costats d'un triangle rectangle que contenga lo angle, e de forma equivalenta se pòdon definir a comptar de las longituds de divèrses segments a comptar de la circonferéncia goniometrica (circonferéncia de radi unitat, lo centre que n'es l'origina d'un sistèma de coordenadas cartesianas). I a definicions mai modèrnas que las exprimisson coma sèrias infinidas o coma solucions de eqüacions diferencialas; l'avantatgi d'aquelas definicions es que permeton estendre las foncions trigonometricas a còsses arbitraris coma per exemple los nombres complèxes.

S'emplegan a l'ora d'ara las sièis foncions trigonometricas que se presentan a la taula de la drecha, amassa amb qualques unas de las identitats que permeton ne calcular unas a comptar de las autras. En lo cas de las darrièras quatre foncions trigonometricas, se prenon sovent aquelas identitats coma "definicions" de las meteissas foncions, mas se pòdon definir perfièchament de manièra geometrica, o per autres mejans, e alavetz demostrar aquelas identitats. En fach, tal coma s'aprècia a las identitats de la taula, cal solament ne definir una qui que siá e se pòdon après emplegar unas o d'autras identitats per definir e calcular tota la rèsta.

Foncion Abreujament Identitats (en emplegant radiantas)
Sinus sin


⁡ θ =


(




) =




{\displaystyle \sin \theta =\còrs \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}\,}

Cosinus Còrs


⁡ θ =


(




) =




{\displaystyle \còrs \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\shut \theta }}\,}

Tangent Tan(o tg)



⁡ θ =





= cot


(




) =




{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\còrs \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}\,}

Cosecant csc(O cosec)



⁡ θ =


(




) =




{\displaystyle \csc \theta =\shut \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}\,}

Secant Shut


⁡ θ =


(




) =




{\displaystyle \shut \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\còrs \theta }}\,}

Cotangent cot(O ctg o ctn)



⁡ θ =





= tan


(




) =




{\displaystyle \cot \theta ={\frac {\còrs \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}\,}

Istòria[modificar | modificar la font]

La nocion que i li cal aver qualque correspondéncia basica entre la longitud de las caras d'un triangle e los angles apareis tanlèu coma ne reconeis que los triangles semblables mantenon constants las relacions entre las siás caras. Es a dire, per quin triangle que siá rectangle semblable a un de donat, la relacion (lo quocient entre las longituds) entre l'ipotenusa (per exemple) e una autra de las siás caras se manten constanta. Se l'ipotenusa es lo doble de longa, o son tanben las autras doas caras. Son justament aquelas relacions las que s'emplegan per exprimir las foncions trigonometricas.

Las foncions trigonometricas foguèron estudiadas per:

  • Lo matematic grèc Hiparc de Nicea (180-125 AC) creèt de taulas ont ligava la longitud de l'arc a la longitud de la còrda correspondenta,[1]
  • A Egipte, Claudi Ptolemèu (90–180 AD) escriguèt lo almagest ont desvolòpa las formulas equivalentas a las actualas pel sinus de la soma de dos angles mas per la foncion còrda, e una formula pel calcul de la còrda del angle mitat, a comptar de creèt aicí una taula trigonomètrica[2]
  • Lo matematic Indi Aryabhata (476–550) definiguèt pel primièr còp las foncions sinus (la mitat de la còrda) e cosinus. Los sieus trabalhs contenon las taulas mai ancianas qu'existiscan a l'ora d'ara de las valors del sinus de totes los angles compreses entre 0° e 90° a intervals de 3,75°, amb una precision de 4 decimals. Aquela taula foguèt reprodusida per Brahmagupta (628)
  • Segon l'òbra de Abu l-Wafa, sembla que los matematicians musulmans utilizavan caduna de las sièis foncions trigonometricas, e dispausavan de taulas amb intervals de 0,25°, amb 8 decimals exactas.[3]
  • Lo matematic catalan Savasorda (1070-1136) escriu la primièra taula trigonometrica en latin. Aquela taula emplega la còrda en seguent la tradicion classica alloc del sinus qu'emplegavan los arabes, dividís la circonferéncia goniometrica en 88 parts (alloc de 360 gras) e al diàmetre li assigna 28 unitats. Aiçò fa que l'unitat de angle siá fòrça aperaquí lo radian. La taula dona lo angle en gras, minutas e segon e es exacta fins al darrièr decimal.[4]
  • Lo matematic indi Bhaskara II, l'an 1150 explica un metòde detalhat per bastir las taulas de sinus per quin angle que siá.
  • Madhava De Sangamagrama (1400) Faguèt unes primièrs passatges en l'analisi matematica de foncions trigonometricas basada en sèrias.
  • Leonhard Euler Amb l'òbra Introductio in analysin infinitorum (1748) foguèt lo principal responsable d'establir lo tractament de las foncions trigonometricas a Euròpa, las definiguèt tanben coma sèrias infinidas e presentèt la formula de Euler", aital coma las abreviatures gaireben aital coma las modèrnas sin., Còrs., tang., cot., Shut., E cosec.

Èra istoricament comun d'emplegar qualques foncions mai que las d'uèi lo jorn (e aquelas foncions apareisson en las taulas mai ancianas de foncions trigonometricas), mas se son quitats d'a l'ora d'ara emplegar. Son de foncions coma la còrda (crd(θ) = 2 sin(θ/2)), lo versinus (versin(θ) = 1 − còrs(θ) = 2 sin²(θ/2)), lo semiversinus (semiversin(θ) = versin(θ) / 2 = sin²(θ/2)), lo exsecant (exsec(θ) = shut(θ) − 1) e lo excosecant (excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1). Fòrça mai relacions, que se tròban entre el aquelas, se tròban a l'article sus la lista d'identitats trigonometricas.

Etimologia[modificar | modificar la font]

L'etimologia, de la paraula sinus proven de la paraula en sànscrit jya-ardha que vòl dire "mièja còrda", abracat en jiva. Aiçò se transliterava en arab coma jiba, e s'escriviá jb, en pas escriure las vocalas en araba. Après, aquela transliteració foguèt tradusida per error dins lo sègle XII al latin coma sinus, jos l' impression confonduda que jb correspondiá a jaib paraula, que significa "pitrau" o "baia" o "plec" en arab, tal coma sinus en latin.[5] La paraula latina es la que s'es conservat en catalan.

La paraula tangent ven del latin tangens: que "tòca", doncas que la drecha emplegada per la definir tòca la circonferéncia goniometrica, del temps que secant proven de secans en latin - "en talhant" - doncas que la drecha emplegada per la definir talha la circonferéncia goniometrica: ambedoas foguèron introdusidas pel matematic danés Thomas Fincke lo 1583.[6]

Definicion de las foncions trigonometricas[modificar | modificar la font]

Las desparièras definicions de las foncions trigonometricas que se presentan son de contunh equivalentas en lo sens que, pels angles que se pòdon aplicar, lo resultat coïncidís. Mas se diferéncian en lo sens que se pòdon aplicar a angles en un sens de mai en mai ample de la paraula. La definicion en basa al triangle rectangle, en parlant estrictament, se pòt solament aplicar a angles aguts. La definicion en se basant en la circonferéncia goniometrica permet atribuir valor a las foncions trigonometricas de angles qu'ajan quina valor que siá dins de l'ensems dels nombres reales. La definicion basada en sèrias se pòt emplegar per calcular las foncions trigonometricas d'arguments complèxes.

De mai, las definicions basadas en sèrias, en eqüacions diferencialas o en eqüacions foncionalas, permeton abordar l'estudi de las foncions trigonometricas sens far referéncia a consideracions geometricas. En acceptant simplament la definicion basada purament en concèptes pròpris de l'analisi matematica.

En basa al triangle rectangle[modificar | modificar la font]

Un triangle rectangle a totjorn un angle de 90° (π/2 radiants), en aquel cas lo C. Los angles A e B pòdon variar. Las foncions trigonometricas especifican las relacions entre las longituds dels costats dels angles interiors d'un triangle rectangle.

Per'mor de definir las foncions trigonometricas del angle A, se comença amb un triangle rectangle arbitrari que contenga lo angle A. S'emplegan los seguents noms pels costats del triangle:

  • La ipotenusa es lo costat opausat al angle drech, o se pòt tanben definir coma lo costat mai long del triangle rectangle, en aquel cas ora
  • Lo catet opausat es lo costat opausat al angle que se preten estudiar, en aquel cas a.
  • Lo catet adjacent es lo costat qu'es en contacte amb lo angle que s'estúdia e lo angle drech. En aquel cas lo catet adjacent es b.

Totes los triangles se prenon en lo plan euclidian; d'aquela forma los angles intèrnes de quin triangle que siá soman π radiants (o 180°). Doncas, per quin triangle que siá rectangle los angles pas dreches son entre zèro e π/2 radiants (o 90°). Cal observar que las seguentas definicions, en parlant estrictament, definisson solament las foncions trigonometricas per angles dins d'aquel interval. S'estendon a l'ensems entièr dels arguments reals a basa d'emplegar la circonferéncia goniometrica, o a basa d'impausar cèrtas simetrias e que sián de foncions periodicas.

A la seguenta taula se reculhisson las definicions de las sièis foncions trigonometricas en basa al triangle rectangle:[7]

Nom Definicion Formula Triangle de la figura


Sinus Lo sinus d'un angle es lo quocient entre la longitud del catet opausat e la longitud de l'ipotenusa.


=                          
           
           
           

ipotenusa {\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opausat}}{\textrm {}}}}

Cosinus Lo cosinus d'un angle es lo quocient entre la longitud del catet adjacent e l'ipotenusa.


=                          
           
           
           

ipotenusa {\displaystyle \còrs A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {}}}}

Tangent La tangent d'un angle es lo quocient entre la longitud del catet opausat e la longitud del catet adjacent.


A =


adjacent {\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opausat}}{\textrm {}}}}

Cosecant La cosecant csc(A) es la inversa del sin(A), es a dire, lo quocient entre la longitud de l'ipotenusa e la longitud del catet opausat.


=                          
           
           
           

opausat {\displaystyle \csc A={\frac {\textrm {ipotenusa}}{\textrm {}}}}

Secant La secant shut(A) es la inversa del còrs(A), es a dire, lo quocient entre la longitud de l'ipotenusa e la longitud del catet adjacent.

Sèsi

=                          
           
           
           

adjacent {\displaystyle \shut A={\frac {\textrm {ipotenusa}}{\textrm {}}}}

Cotangent La cotangent cot(A) es la inversa de la tan(A), es a dire, lo quocient entre la longitud del catet adjacent e la longitud del catet opausat.


=                          
           
           
           

opausat {\displaystyle \cot A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {}}}}

Se pòt veire qu’aqueles quocients dependon pas del triangle rectangle concrèt que se siá escuelhut, recebut que totes los triangles rectangles qu'ajan lo angle A son semblables.

En se basant en la circonferéncia goniometrica[modificar | modificar la font]

Lo sinus e lo cosinus d'un angle t se definisson respectivament coma la valor de la coordenada y e la coordenada x del ponch ont la circonferéncia de radi unitat interseca lo radi virat un angle t respècti de l'ais x positiva.
La circonferéncia goniometrica.

Las sièis foncions trigonometricas se pòdon tanben definir en basa la circonferéncia goniometrica, la circonferéncia de radi unitat lo centre que n'es l'origina d'un sistèma de coordenadas cartesianas. La circonferéncia goniometrica apòrta pauc en lo camin cap als calculs practics, si que non que s'apieja en los triangles rectangles per la majoritat de angles. Per contra, la definicion basada en la circonferéncia goniometrica, permet la definicion de las foncions trigonometricas per totes los arguments reales, tant positius coma negatius, non solament per angles entre 0 e π/2 radiants. Dona tanben una image visuala unica que conten de còp totes los angles considerables. A comptar del Teorèma de Pitàgores l’eqüacion de la circonferéncia de radi unitat centrada a l'origina es:

2



                                       =
                               {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}
 

En observant la figura de la drecha. Siá un segment de linha drecha que va de l'origina fins a la circonferéncia goniometrica e forma un angle positiu t amb la mitat positiva de l'ais x. Las coordenadas x e y de l'extrèm d'aquel segment que tòca la circonferéncia goniometrica son, respectivament, lo còrs t e lo sin t.[8] Traçant Una perpendicular a l'ais x que passe per l'extrèm del segment s'obten un triangle rectangle format del segment, aquela perpendicular e l'ais x. Aquel triangle rectangle permet verificar que per los angles del primièr quadrant la definicion coïncidís amb la definicion basada en lo triangle rectangle. Cossí que lo radi del cercle es parièr a l'ipotenusa e a longitud 1, resulta que sin θ = y/1 e còrs θ = x/1. La circonferéncia goniometrica, se pòt comprene coma una forma de representar un nombre infinit de triangles rectangles, en los que vàrian las longituds dels catets, mas que la longitud de l'ipotenusa se consèrva constanta parièra a 1.

Foncions trigonometricas:Sinus, Cosinus, Tangent, Cosecant, Secant, Cotangent

Per angles mai grands que π/2 e mai pichons que π la coordenada x del ponch passa a èsser negatiua e la coordenada y es la meteissa que la del triangle obtengut per simetria especular respècte de l'ais vertical, doncas per aqueles angles la definicion en se basant en la circonferéncia goniometrica es lo meteis qu'estendre la definicion en basa al triangle rectangle en impausant las seguentas identitats:

En seguent lo meteis raionament amb simetrias respècte de l'ais orizontal resulta qu'entre π e 3π/2 lo sinus ven tanben negatiu e la definicion en se basant en la circonferéncia goniometrica es equivalenta a estendre la definicion en basa al triangle rectangle amb las seguentas imposicions:

E al tresen quadrant (es a dire entre 3π/2 e 2π):

A la figura de la drecha se presentan las valors del sinus e lo cosinus dels angles mai abituals en los quatre quadrants.

Per angles mai grands que 2π o mai pichons que −2π, se contunha simplament en virant a l'entorn del cercle. D'aquela forma, lo sinus e lo cosinus venon de foncions periodicas amb periòde 2π:

Per quin angle que siá θ e qual que siá enter k.

Del periòde positiu mai pichon d'una foncion periodica se'n sona lo periòde fondamental de la foncion.[9] Lo periòde fondamental del sinus, lo cosinus, la secant, e la cosecant, es lo cercle complet, es a dire, 2π radiants o 360 gras; lo periòde fondamental de la tangent e la cotangent es solament la mitat del cercle, es a dire π radiants o 180 gras. Mai amont, se son definits solament, a travèrs de la circonferéncia goniometrica, lo sinus e lo cosinus, mas las autras quatre foncions trigonometricas se pòdon definir per:

A la figura de la drecha se presentan las graficas de las foncions trigonometricas estendudas al cors dels nombres reales.

De forma alternativa, totas las foncions trigonometricas basicas se pòdon definir en tèrmes de la circonferéncia goniometrica (que se presenta a la drecha al començament de la pagina), e de definicions geometricas d'aquel estil son las que s'empleguèron istoricament e son las que justifican lo nom de las foncions. En particular, la còrda AB del cercle, ont θ es la mitat del angle, sin(θ) es AC (la mitat de la còrda), una definicion que foguèt introdusida a l'Índia (vejatz mai amont l'istòria de las foncions trigonometricas). Còrs(θ) es la distància orizontala OC, e lo versin(θ) = 1 − còrs(θ) es CD. Tan(θ) es la longitud del segment AE de la linha tangent a la circonferéncia goniometrica al ponch A, d'aicí la paraula tangent per aquela foncion. cot(θ) Es un autre segment tangent, AF. Shut(θ) = OE e csc(θ) = OF son de segments de linhas secants (que intersequen lo cercle a dos ponches), e se pòdon tanben veire coma projeccions de OA al cors de la tangent ad A suls aisses orizontalas e verticalas respectivament. D'es la exsec(θ) = shut(θ) − 1 (la porció de la secant defòra de, o ex, lo cercle). A comptar d'aqueles bastiments, es facil de veire que las foncions secant e tangent divergisson a mesura que θ tend a π/2 (90 gras) e que la cosecant e la cotangent divergisson a mesura que θ tend a zèro. (I a fòrça bastiments semblables possibles, e las identitats trigonometricas basicas, se pòdon tanben demostrar graficament.)

Nòtas[modificar | modificar la font]

  1. O'Connor (1996).
  2. Boyer, pàg. 158–168.
  3. Abūʾl-Wafā Article sobre Abūʾl-Wafā a l'Enciclopèdia Britànica.
  4. Llibre de Geometria, Abraham Bar Hiia (Savasorda), Biblioteca Hebraico-Catalana, ISBN 978-84-9859-106-4 pagina 82
  5. Vegeu Maor (1998), capítol 3, referent a etimologia.
  6. Gerardo, , Vol. 41
  7. Iniciació a les matemàtiques per a l'enginyeria Pàgina de la UOC on es defineixen les funcions trigonometricas en base al triangle rectangle]
  8. Càlculus A la pagina 437 i a la definicion del sinus i el cosinus basant-se en la circonferéncia goniometrica.
  9. Senyals Periòdics.