Fraccion (matematicas)

Tres quarts del pastís, un quart foguèt levat.

En matematicas, una fraccion es un cèrt nombre de parts consideradas après la division d'un nombre entièr en partidas egalas. Per exemple, la fraccion 56/8 designa lo quocient de 56 per 8. Es egala a 7 que 7 × 8 = 56. Dins aquesta fraccion, 56 es nomenat lo numerator e 8 lo denominator.

Los nombres que se pòt representar per de fraccions de nombres entièrs son nomenadas nombres racionals. L'ensemble dels racionals es notat ℚ.

Existís una definicion mai generala e abstrach de las fraccions. Se (A, +, .) es un anèl intègre, se pòt crear lo còrs de las fraccion de A. Sos elements se nòtan (per analogia a las fraccions d'entièrs relatius) ${\frac {a}{b}}$ e possedisson las mèsmas proprietats operatòrias (soma, produch, simplificacion, ...) que las fraccions de ℚ.

Sens usual de la fraccion

Definicion de la fraccion

Una fraccion es una division non realizada entre dos nombres entièrs relatius n e d ≠ 0. Es representada atal:

$n/d~$ ou ${}^{\textstyle n}\!\!\diagup \!\!{}_{\textstyle d}$ o ${\frac {n}{d}}$.

• Lo nombre del naut, notat n, se nomena lo numerator.
• Lo nombre del bas, notat d, se nomena lo denominator.
• Lo trach o barra de fraccion significa que se divisa lo numerator pel denominator.

Exemple : ³⁄₇ significa que se divisa 3 per 7; se pronóncia aquesta fraction « tres setens ».

• 3 es nomeant numerator qu'indica un nombre de tres unitats (los setens)
• 7 es nomat denominator que denoma l'unitat (lo seten) amb que s'opèra.

Quand se manja los ³⁄₇ d'una tarta, lo numerator 3 indica lo nombre de parts que se manja alara que 7 indica lo nombre total de parts, donc l'unitat considerada.

Existí tanben la notacion

n : d

o encara

n ÷ d

los dos punts o l'obelus remplaçant la barra de fraccion.

Una fraccion es dicha impròpra quand la valor absoluda del numerator es mai granda qu'aquta del denominator.

Modelizacion d'una fraccion

Per comprene e establir las règlas de manejament de las fraccions, existís dos metòdes diferents. La primièra consistís a utilizar la geometria. La fraccion representa un talhon d'aira d'una figura geometrica o d'una longor d'un costat d'un poligòn, sovent un triangle. Mostrar las leis regissent las fraccions ne ven a far de geometria e a mesurar d'airas o de longors (Algebra geometrica).

Un autre caminament es de nature purament algebrica. Los nombres racionals son bastits de biais abstrach a partir de classas d'equivaléncias d'entièrs. L'addition e la multiplicacion eissidas dels nombres entièrs son compatibles amb la classa d'equivaléncia, çò que dota l'ensemble de las fraccions d'una addicion e d'una multiplicacion naturalas. Aquesta construccion permet d'establir las leis regissent lo comportament de las fraccions.

La demarca causida aquí correspond a la primièra descricha e es purament geometrica.

Representar una fraccion

L'ojectiu es de visualizar un fraccion n/d.

La fraccion pòt èsser representada per un dessenh. Plan sovent una forma geometrica que se divisa diferenta partidas.

Fraccions de n < d

Lo denominator d indica lo nombre de partidas egalas de dessenhar dins la forma geometrica e lo numerator n indica lo nombre de partidas egalas utilizadas.

Per exemple, causissèm un rectangle coma forma geometrica e la fraccion ³⁄₄. Lo denominator es 4 donc lo rectangle serà divisat en 4 partidas egalas.

Lo numerator es 3 donc solas 3 partidas egalas seràn utilizadas.

Autra possibilitat:

Fraccions de n > d

Aquesta fraccion serà equivalenta al quocient de n/d, (que representarà lo nombre d'unitat) segit d'una fraccion constituida pel rèste de la division per numerator e d per denominator.

Per exemple, per la fraccion 7/3, la division entièra dona 2, rèsta 1. Lo quocient es 2 donc 2 unitats, lo rèste 1 donc 2 1/3. Es impossible de representar aqueste tipe de fraccion per un esquèma unic, utilisaram alara diferentas formas geometricas similàrias:

Prene una fraccion d'una quantitat

Per prene los ²⁄₃ de 750, se divisa 750 per 3, puèi se multiplica lo resultat per 2 :

750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Donc ²⁄₃ de 750 = 500

Prendre ^a⁄_b de c ne ven a divisar c per b e a multiplicar lo tot per a. O mai simplament, quand se conéis las règlas de calcul sus las fraccions, prene ^a⁄_b de c aquival a multiplicar ^a⁄_b par c. Mai generalament, se pòt constar que lo « de » es remplaçat per una multiplicacion. Es lo mèsme quand se calcula 75 % de c, se deu just calcular 75 % multiplicat pe c. En efièch, 75 % es une fraccion : 75 % = ⁷⁵⁄₁₀₀ = 0,75.

Fraccions equivalentas

Quand se multiplica, o divisa, lo numerator e lo denominator d'una fraccion per un mèsme nombre, s'obten una fraccion equivalenta.

Exemple : (se multipliquèt 2/3 per 2/2)

De biais general, las fraccions ⁿ⁄_d e ^n'⁄_d' son equivalentats del moment que n × d'= d × n'.

Exemple :

${\frac {4}{6}}={\frac {6}{9}}$que $6\times 6=4\times 9\,$ (se nomena aqueste produchs los produchs en crotz).

Se fraccions pòdo èsser simplificadas, es a dire que n e d pòdon èsser divisadas per un mèsme nombre mas le mai grand possible. Aqueste nombre se nomena lo PGCD (pus grand comun divisor) de n e d. Après reduccion, la fraccion es dicha irreductiblea.

Per realizar unas operacions entre fraccions, totes los denominators de las fraccions devon èsser egals. Per çò far, cal remplaçar cada fraccion per una fraccion equivalenta, s'arrenjant per que totes los denominators sián identics. Aqueste denominator serà lo pus pichon nombre possible que siá divisible per cada denominator. Aqueste nombre se nomena lo PPCM (pus petit comun multiple) dels denominators. L'operacion se nomena reduire al mèsme denominator.

Exemple :

${\frac {3}{4}}={\frac {3\times 3\times 3\times 5}{4\times 3\times 3\times 5}}={\frac {135}{180}}$

${\frac {1}{6}}={\frac {1\times 2\times 3\times 5}{6\times 2\times 3\times 5}}={\frac {30}{180}}$

${\frac {5}{9}}={\frac {5\times 2\times 2\times 5}{9\times 2\times 2\times 5}}={\frac {100}{180}}$

Comparason de fraccions

• Per un mèsme numerator, mai lo denominator es pichon mai la fraction es granda.

Exemple :

${\frac {2}{3}}>{\frac {2}{5}}$

Lo numerator 2 es lo mèsme per cada fraccion.

La comparason dels denominators dona 3 < 5

• Per un mèsme denominator, mai lo numérator es grand, mai la fraccion es granda:

Exemple :

${\frac {2}{7}}<{\frac {5}{7}}$

Lo denominator 7 es lo mèsme per cada fraccion.

La comparason dels numerators dona 2 < 5

• Se los numerators e los denominators son diferents, se pòt encara reduire las fraccions de mèsme denominator e comparar alara los numerators: Comparason de 1/4 e 2/5

1/4 =5/20 e 2/5 = 8/20. Coma 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5

Remarca: se pòt tanben utilizar l'escritura decimala coma 1/4 = 0,25 e 2/5 = 0,4, 0,25 < 0,4 donc ¹⁄₄ < ²⁄₅.

Escritura decimala, escritura fraccinària

Tota fraccion possedís un desvelopament decimal finit o infinit periodic que s'obten pausant la division de n per d.

1/4 = 0,25

2/3 = 0,666...(periòde 6)

17/7 = 2,428571428571...(periòde 428571)

Al contrari, tot nombre decimal o possedissent un desvolopament decimal periodic pòt s'escriure jos forma de fraccion.

Cas del nombre decimal

Sufís de prene coma numerator lo nombre decimal que se levèt laa virgula e coma denominator 10ⁿ ont n es lo nombre de chifres après la virgula:

$0{,}256={\frac {256}{1000}}={\frac {32}{125}}$

$15{,}16={\frac {1516}{100}}={\frac {379}{25}}$

Cas del desvelopament decimal illimitat

Se comença per s'ocupar de la partida entièra: 3,4545... = 3 + 0,4545...

Cas del desvelopament decimal periodic simple

Un nombre periodic simple es un nombre decimal ont lo periòde comença just après la virgula. 0,666... o 0,4545... o 0,108108...

Pel numerator, sufís d'utilizar lo periòde alara que lo denominator serà compausat de tant de 9 qu'i a de chifres compausant lo periòde.

Per exemple, per 0,4545... lo periòde es 45 e es compausada de dos chifres, s'obten la fraccion 45/99 = 5/11.

En consequéncias: 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11.

Senon, pausam x = 0,4545454545...

100x = 45,4545454545... = 45 + x donc 100x - x = 45,4545454545... - 0,4545454545... = 45 donc 99x = 45 donc x = 45/99.

Cas del desvelopament decimal periodic mixte

Un nombre decimal periodic mixte es un nombre decimal ont lo periòde comença pas just après la virgula, per exemple : 0,8333... o 0,14666...

Per trobar lo numerator de la fraccion, cal sostraire la valor mixta de la valor mixta seguida del primièr periòde. Al sublècre de denominator, serà compausat de tant de 9 qu'i a de chifres compausant lo periòde, seguit de tant de zèros qu'i a de chiffres après la virgula compausant la valor mixta.

Exemple: 0,36981981... valor mixte: 36 Valor mixta seguida del primièr periòde: 36981 Numerator = 36981 - 36 = 36945Dins la valor 0,36981981..., lo periòde 981 es constituit de 3 chifres donc lo denominator serà constituit d'una seria de tres 9 seguit de dos zèros que la valor mixta 36 es compausada de dos chifres. Fin finala s'obten 0,36981981... = 36945/99900 = 821/2220.

Exemple 2: $1,24545...={\frac {1245-12}{990}}=137/110$.

Operacions sus las fraccions

Addicion e sostraccion

Per un denominator comun

Sufís d'addicionar o de sostraire lo numerator de cada fraccion e de gardar lo denominator comun.

Exemple d'una soma:

Per un denominator diferent

Abans de realizar l'operacion, cada fraccion deu èsser transformada en una fraccion equivalenta que lo denominator lor siá comun.

Exemple :

$A={\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}$

$A={\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}$

$A={\frac {11}{18}}$

Multiplicacion

Multiplicacion de las fraccions 2/3 e 4/5. A la drecha, lo pichon rectangle compren 2×4 casas de blaus escur, alara que lo grand rectangle comprend 3×5 casas quina que siá la color, d'ont la fraccion 8/15

La multiplicacion de doas fraccions es simpla de realizar mas es pas simple de comprene perque fonctionna atal. Per exemple,

${\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{5}}={\frac {2\times 4}{3\times 5}}={\frac {8}{15}}$

Vaquí una explicacion basada sus una compreneson intuitiva de las fraccions. Se pòt comprene quatre cinquens coma quatre còp un cinquen (veire las representacions graficas çai dessús) o ${\frac {4}{5}}$ coma ${4}\times {\frac {1}{5}}$. Atal multiplicar ${\frac {2}{3}}$per ${\frac {4}{5}}$aquival a realizar ${\frac {2}{3}}\times 4\times {\frac {1}{5}}={\frac {2\times 4}{3}}\times {\frac {1}{5}}$.

Mas multiplicar per un cinquen equival a divisar per 5, es a dire de multiplicar lo denominator per 5 (las partidas son 5 còps mai pichonas), o : ${\frac {2\times 4}{3\times 5}}$.

Division

La division es l'operacion invèrs de la multiplicacion. De biais algoritmic, quand se divisa per una fraccion, se remplaça la multiplicacion per la division tot en inversant la fraction qui seguís. Per exemple:

${\frac {2}{3}}\div {\frac {4}{5}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {5}{4}}={\frac {2\times 5}{3\times 4}}={\frac {10}{12}}={\frac {5}{6}}$

Autras fraccions

• fraccion irreductibla: fraccion ont lo numrrator e lo denominator son primièrs entre eles.
• fraccion unitària: fraccion que lo numerator es egal a 1 e lo denominator es un entièr positiu.
• fraccion egipciana: fraccion qu'es la soma de fraccions unitàrias, totas diferentas.
• fraccion decimala: fraccion qu'a per denominator una poténcia de 10.
• fraccion diadica: fraccion que lo denominator es una poténcia de 2.
• fraccion compausada: fraccion que lo quita numerator e lo quita denominator son de fraccions : ${\frac {{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}}}={\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}={\frac {19}{15}}\times {\frac {6}{5}}={\frac {38}{25}}$
• fraccion continua: fraccion constituida a partir d'una seguida d'entiers naturals $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)$ del biais eguent $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}$
• fraccion racionala: quocient de dos polinòmis.
• fonccion racionala: quocient de doas fonccion polinomala.
• còrs de las fraccions: còrs comutatiu construit a partir d'un anèl intègre e ont se poirà realizar de divisions.

Per las fraccions racionalas, o mai generalament pel còrs de las fraccions d'un anèl comutatiu, la notcon de denominator e de numerator garda lo mèsme sens.

etimologia

Lo tèrme ven del latin classic frangere - « trencar » - que ven de la raiç indoeuropèa °bhreg.