Aplicacion (matematicas)

f (1) = a, f (2) = c, f (3) = d

En matematicas, lo concèpte d'aplicacion formaliza l'idèa intuitiva de dependéncia determinista entre dos elements qu'un d'elei (la valor de l'aplicacion) es entierament determinat per l'autre (la variabla de l'aplicacion).

D'un biais informau, una aplicacion f es la donada :

• de dos ensembles X, Y (que supausarem non vueges)
• d'un biais d'associar a cada element x de l'ensemble X un element unic y de l'ensemble Y, sonat imatge de x per f, o valor de f en x, e notat f(x)

Se ditz alora que f es una aplicacion de X dins Y (o de X vèrs Y ) e s'escriu $f:X\to Y$ .

Per indicar qu'un element x de X a per imatge l'element y de Y, se pòt notar : $x\mapsto y$ .

Exemple : l'esquèma çai sus (o diagrama sagitau) representa una aplicacion particulara d'un ensemble X de 3 elements (notats 1, 2, 3) dins un ensemble Y de 5 elements (notats a, ... , e). Se pòt interpretar X coma un ensemble de 3 objèctes destriables (son numerotats) e Y coma un ensemble de 5 boitas destriablas (son tanben "numerotadas"). Amb aquela interpretacion, cada aplicacion de X dins Y pòt èsser vista coma un dei biais de plaçar leis objèctes dins lei boitas : a cada objècte, l'aplicacion associa la boita ont es plaçat ; dins lo cas representat, leis objèctes "1", "2", "3" son plaçats respectivament dins lei boitas a, c, d.
De segur, i a d'autrei biais de lei plaçar (n'i a 5³ = 125 en tot) : per exemple, se seriá poscut metre lei 3 objèctes dins la boita b, çò que seriá estat representat per l'aplicacion g de X dins Y tala que g (1) = g (2) = g (3) = b.

Remarca terminologica : s'emplega sovent lo mot foncion per sinonim d'aplicacion de valors numericas (realas o complèxas). Ansin, una foncion es una aplicacion $f:X\to Y$ , ont Y es un sosensemble de $\mathbb {R}$ (l'ensemble dei reaus) o de $\mathbb {C}$ (l'ensemble dei complèxes).

Per exemple, en geometria, l'aira a d'un carrat es una foncion de la longor $\ell$ dau costat :

$a=\ell ^{2}$ ;

la dependéncia entre $\ell$ e a se representa per l'aplicacion $f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},\,\ell \mapsto a=\ell ^{2}$ (l'ensemble dei reaus positius es notat $\mathbb {R} ^{+}$).

Definicions

• Formalament, una aplicacion f d'un ensemble X dins (o vèrs) un ensemble Y es un triplet $f=(X,\,Y,\,\Gamma _{f})$ onte $\ \Gamma _{f}$ es un sosensemble dau produch cartesian X x Y satisfasent la condicion seguenta : per tot element x de X, existís un element unic y de Y tau que $(x,\,y)\in \Gamma _{f}$ .
  • L'element y ansin definit (dich associat a x) es notat f(x) : es l'imatge de x per l'aplicacion f, o la valor de f en x.
  • S'escriu $f:X\to Y$ (que se liège : « f aplicacion de X dins Y »).
• Se ditz que l'ensemble X es lo domeni de f o l'ensemble de definicion de f.
• Se ditz que l'ensemble Y es lo codomeni de f o l'ensemble d'arribada de f.
• L'ensemble $\ \Gamma _{f}$ es un sosensemble dau produch cartesian X x Y : es un graf. Se ditz qu'es lo graf de l'aplicacion f. Per definicion :

$\Gamma _{f}=\{(x,\,y)\mid (x\in X)\wedge (y\in Y)\wedge (y=f(x)\;\}$ , autrament dich : $\Gamma _{f}=\{(x,\,f(x))\mid x\in X\}$

Aplicacion identica d'un ensemble X

Es l'aplicacion de X dins X, notada $\ id_{X}$ , qu'a cada element x de X associa lo meteis element x.

$id_{X}:X\to X,\,x\mapsto x$ ; autrament dich : $\ id_{X}(x)=x$ per tot x dins X.

Lo graf de l'aplicacion identica de X es l'ensemble seguent (sonat diagonala dau carrat cartesian $\ X^{2}$ de X) :

$\Delta _{X}=\{(x,\,y)\mid (x\in X)\wedge (y\in X)\wedge (y=x)\;\}$; autrament dich : $\Delta _{X}=\{(x,\,x)\mid x\in X\;\}$

Aplicacion constanta sus un ensemble X

Se ditz qu'una aplicacion $f:X\to Y$ es constanta s'existís un element (fixat) $\ y_{0}$ de Y tau que $\ f(x)=y_{0}$ per tot element x de X : es una aplicacion tala que la valor de f en un ponch x siá independenta de x (totei leis elements de X an lo meteis imatge per f ; dins l'interpretacion ja donada, totei leis objèctes son plaçats dins la meteissa boita).

Egalitat de doas aplicacions

Segon la definicion supra, doas aplicacions $f_{1}:X_{1}\to Y_{1}$ e $f_{2}:X_{2}\to Y_{2}$ son egalas se e solament se :

1. $\ X_{1}=X_{2}$
2. $\ Y_{1}=Y_{2}$
3. $\ \Gamma _{f_{1}}=\Gamma _{f_{2}}$ , çò qu'equivau a : $\{(x,\,f_{1}(x))\mid x\in X_{1}\}=\{(x,\,f_{2}(x))\mid x\in X_{2}\}$

Autrament dich, lei doas aplicacions $\ f_{1}$ e $\ f_{2}$ son egalas, çò que s'escriu $\ f_{1}=f_{2}$ , se e solament se, simultaneament :

1. an lo meteis domeni, notat aicí X
2. an lo meteis codomeni, notat aicí Y
3. $\ f_{1}(x)=f_{2}(x)$ per tot element x de X

Ensembles d'aplicacions

L'ensemble deis aplicacions de X dins Y es notat indiferentament ${\mathcal {A}}(X,\,Y)$ , o coma una poténcia : $\ Y^{X}$ .

Imatge dirècte

Siá una aplicacion $f:X\to Y$ .

Imatge d'una aplicacion

Un element y de Y es una valor de f se e solament s'existís (aumens) un element x de X tau que f(x) = y. Se sòna imatge de l'aplicacion f l'ensemble dei valors de f ; es un sosensemble dau codomeni Y qu'es notat $\ im(f)$ . Per definicion :

$im(f)=\{(y\mid (y\in Y)\wedge (\exists x,(x\in X)\wedge (f(x)=y))\;\}$ ; autrament dich : $im(f)=\{f(x)\mid x\in X\;\}$

Exemples

• Dins l'exemple representat sus la figura en tèsta d'article, $im(f)=\{a,\,c,\,d\;\}$ . En interpretant f coma un biais particular de plaçar lei 3 objèctes dins lei 5 boitas, l'imatge de f es l'ensemble dei boitas que contènon aumens un objècte.
• Siá l'aplicacion $f_{1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto f_{1}(x)=x^{2}$ . A per imatge $im(f_{1})=\mathbb {R} ^{+}$ , l'ensemble dei nombres reaus positius. Aquò se demòstra per inclusion dobla :
  • Se y es dins l'imatge de $f_{1}$ , existís un reau x tau que $\ y=x^{2}$, donc y es positiu, çò que pròva l'inclusion $im(f_{1})\subset \mathbb {R} ^{+}$ .
  • Reciprocament, se y es un reau positiu, se pòt definir $x={\sqrt {y}}$ ; alora $f_{1}(x)=y$ , donc y es dins l'imatge de $f_{1}$ ;

aiçò pròva l'inclusion $\mathbb {R} ^{+}\subset im(f_{1})$ .

• Siá l'aplicacion $f_{2}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},\,x\mapsto f_{2}(x)=x^{2}$ . A per imatge $im(f_{2})=\mathbb {R} ^{+}$ (demostracion analòga).

Aquesteis exemples mòstran que, segon lei cas, l'imatge e lo codomeni d'una aplicacion pòdon èsser diferents o egaus : fau a priori s'avisar de pas confondre lei doas nocions. Se ditz qu'una aplicacion es subrejectiva se son imatge coïncidís amb son codomeni (cada boita contèn aumens un objècte). Segon aquesta definicion, $f_{2}$ es subrejectiva, e lei doas autreis aplicacions o son pas.

Remarca : leis aplicacions $f_{1},\,f_{2}$ an lo meteis domeni $\mathbb {R}$ e lo meteis graf $\Gamma =\{(x,\,x^{2})\mid x\in \mathbb {R} \}$ , mai son diferentas, qu'an pas lo meteis codomeni : la segonda es subrejectiva e la premiera o es pas.

Generalizacion

Estent un sosensemble (o partida) A de X, se definís l'ensemble :

$f(A)=\{y\mid (y\in Y)\wedge (\exists x,(x\in A)\wedge (f(x)=y))\;\}$ , autrament dich : $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\;\}$

Se ditz que $\ f(A)$ es l'imatge dirècte de A per l'aplicacion f. Es un sosensemble dau codomeni de f.

• En particular, $\ im(f)=f(X)$ .

Imatge invèrs

Siá una aplicacion $f:X\to Y$ .

Estent un sosensemble (o partida) B de Y, se definís l'ensemble :

$f^{-1}(B)=\{x\mid (x\in X)\wedge (f(x)\in B)\;\}$

Se ditz que $\ f^{-1}(B)$ es l'imatge invèrs de B per l'aplicacion f. Es un sosensemble dau domeni X de f.

Composicion d'aplicacions

Es una nocion essenciala. Compausar doas aplicacions consistís a leis encadenar. Estent $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ d'aplicacions talei que lo codomeni Y de la premiera siá lo domeni de la segonda, se pòt, per cada element x de X, determinar son imatge y = f(x) per f, qu'es un element de Y, puei l'imatge z = g(y) de y per g, qu'es l'element $\ z=g(f(x))$ de Z :

$X\to \,\,Y\;\;\to \;\;\,Z$

$x\;{\stackrel {f}{\mapsto }}\;f(x)\;{\stackrel {g}{\mapsto }}\;g(f(x))$

L'aplicacion de X dins Z qu'a tot element x de X associa l'element z de Z ansin definit es sonada compausada deis aplicacions f, g (dins aquest òrdre). Se nòta $g\circ f$ .

$g\circ f:X\to Z,\;x\mapsto g(f(x))$ ; autrament dich : per tot element x de X, $(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Remarca : còmpte tengut dei notacions, dins l'escritura $g\circ f$ , la succession deis aplicacions se liège de la drecha vèrs la senèstra.

Associativitat de la composicion d'aplicacions

Estent tres aplicacions $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ e $h:Z\to W$ talei que lo codomeni Y de caduna dei doas premieras siá lo domeni de la seguenta. Alora :

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

D'efècte, lei dos membres son d'aplicacions qu'an lo meteis domeni X, lo meteis codomeni W, e tot element x de X a lo meteis imatge $h(g(f(x)))$ per aquelei doas aplicacions, çò que pròva l'egalitat.

Se ditz que la composicion d'aplicacions es associativa. Se pòt alora notar l'aplicacion compausada de f, g, h sensa parentèsis :

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f=h\circ g\circ f:X\to W$

Compausada d'una aplicacion amb una aplicacion identica

Siá una aplicacion $f:X\to Y$ . Alora (ben s'avisar de l'òrdre):

$f\circ id_{X}=f$

$id_{Y}\circ f=f$

Se pòt per exemple verificar ansin la premiera d'aquelei doas relacions :

$X\to \,\,X\;\;\to \;\;\,Y$

$x\;\;{\stackrel {id_{X}}{\mapsto }}\;\;x\;\;\;{\stackrel {f}{\mapsto }}\;\;f(x)$